2、'(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.当0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取3123452.(2016山东·20)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.解:(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).412345
3、(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.512345当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.612345新题演练提能·刷高分(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.解:(1)因为
4、f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),又f'(x)=x2+2x+a,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为-3,所以f'(0)=a=-3,所以f'(x)=x2+2x-3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:712345所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(-3,1).(2)因为函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,所以f'(x)≥0.即对x∈[-2,a],只要f'(x)min≥0.因为函数f'(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1,当-2≤a≤
5、-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(a),由f'(a)=a2+3a≥0,得a≥0或a≤-3,所以此种情况不成立;当a>-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(-1),由f'(-1)=1-2+a≥0得a≥1,综上,实数a的取值范围是[1,+∞).812345(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),从而f(1)=-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1
6、.9123451012345111234512123451312345由题意可知a>x0+1.又x0∈(3,4),a∈Z,∴a的最小值为5.1412345(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;(2)当a∈(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.即a≥(-x2+3x-3)·ex在(0,+∞)恒成立,设g(x)=(-x2+3x-3)·ex,则g'(x)=ex(-x2+x),∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(1)=-e,∴a≥-e.∴实数a的取值
7、范围为[-e,+∞).1512345∴a=2x-(3-x)ex(x>0),令h(x)=2x-(3-x)ex,则h'(x)=2+(x-2)ex,令φ(x)=h'(x)=2+(x-2)ex(x>0),则φ'(x)=(x-1)ex,∴h'(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴h'(x)min=h'(1)=2-e<0.又h'(0)=0,h'(2)=2>0,∴存在x0∈(0,2),使得x0∈(0,x0)时h'(x)<0,h(x)单调递减;当x0∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,又h(0)=-3
8、,h(x0)<0,1612345当x→+∞时,h(x)→+∞,∴当x>0,a∈(-3,-e)时,方程a=2x-(3-x)ex有一个解,即当a∈(-3,-e)时,方程f(x)=2只有一个解.1712345函数的单调性与极值、最值的综合应用高考真题体验·对方向1.(2017北京·20)已知函数
