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1、第四章不定积分1本章重点不定积分的概念与性质不定积分的计算第一类换元法（凑微分法）第二类换元法（变量代换法）分部积分法有理函数的积分2§1.不定积分的概念与性质3互为逆运算例已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=s’(t)。——微分学解决的问题已知物体运动的速度函数v=v(t)，求运动的位置函数s=s(t)。——积分学解决的问题一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F’(x)=f(x)。——积分学的任务4一、原函数与不定积分的概念定义1：已知f(x)是一个定义在区间I内的函数，
2、则称F(x)为f(x)在I上的原函数。如：∴x2是2x的原函数;dsinx=cosxdx,∴sinx是cosx的原函数;∴s(t)是v(t)的原函数。如果存在函数F(x),使在I内的任一点都有5问题∴F(x)+C包含了f(x)的所有原函数。1.是否所有的函数都具有原函数？在什么条件下，f(x)一定存在原函数？原函数存在定理：若f(x)在区间I上连续，则在I上必存在原函数。2.连续函数f(x)的原函数是否只有一个？设F(x)为f(x)的原函数，它们之间有何关系？6定义2：函数f(x)的全体原函数就称为不定积分。
3、记作其中——积分号f(x)——被积函数f(x)dx——被积表达式x——积分变量例：若F(x)为f(x)的一个原函数，则7不定积分的几何意义:F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，方程为y=F(x).就表示了一族积分曲线y=F(x)+C.它们在相同点处有相同的切线斜率。xy0x8积分号与微分号的作用相互抵消。由不定积分的定义，则有又或积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。9例：求通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率均为6x的一条曲线。解：设所求曲线方程为y=f(x).由题意，曲线上点(x,y)的切线
4、斜率两边取不定积分：为一簇积分曲线。10二、基本积分表(P.186)②注意：③依基本导数公式与不定积分的定义，既可得基本积分各式（15个）：（代数5个、三角6个、指数4个）。11例题讨论求下列不定积分：例1.例2.12三、不定积分的性质性质1.函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。性质2.被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。（P.187—188）13利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后，
5、简写为一个常数。2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。14例3.例4.掌握被积函数的恒等变形。15例5.同理，例6.例7.16例8.例9.(假分式=多项式+真分式)17从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。∴注重积分过程的正确是至关重要的。即每一步运算都要看能否还
6、原到上一步。18课外作业习题4—1（A）1（2,4,6,9,10),2,3,5习题4—1（B）1（1,3,4,6,7,9),2,419§2.换元积分法20一、第一类换元法(凑微分法)1.凑常数例1：2(2x=u)21例2：3例3：(+1)(x+1=u)22例4：/aa-1同理：23例5：同理：24例6：例7：/22252.凑函数（变量）定理1.设F(u)是f(u)的一个原函数，原函数，且有换元公式：且u=φ(x)可导,证明：26换元公式：φ(x)=u前例：2(2x=u)(u=sinx)27例2：例3：28例4
7、：同理：例5：(secx+tanx)(secx+tanx)29同理：注意：书P196例16、17关于上述公式的推导技巧：30例6：31例7：32例8：233例9：34一般：35例10：例11：36一般对：37课外作业习题4—2（A）1,2,3(2,4,6,7,9,11),4(1,3,4,5,6,9,10,12)习题4—2（B）1(偶数),2(1,3,5,7,8,10)3(1,3,4,6),438二、第二类换元法（变量代换法）定理2.设x=ψ(t)是单调的可导函数，换元公式：令x=ψ(t)，回代：391.三角代
8、换例1：分析：目的：消去根式。利用三角恒等式：若令x=asint,被积函数40例1：解：令x=asint,dx=acostdt,Sin2t=?txa41例2：分析：若令x=atant,解：令x=atant,dx=asec2tdt.txa42也可令x=asht(t>0)解：令x=asht，dx=achtdt,43例3：分析：若令x=asect,解：令x=asect,dx=asecttantdt,txa
