东北大学现代控制理论03状态方程的解ppt课件.ppt

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1、第三章状态方程的解3.1线性时不变（LTI)系统齐次状态方程的解3.2矩阵指数3.3线性时不变系统非齐次状态方程的解3.4线性时不变系统的状态转移矩阵3.5线性时变系统状态方程的解3.6连续系统的时间离散化3.7线性离散系统状态方程的解第三章状态方程的解3.1线性时不变（LTI)系统齐次状态方程的解齐次状态方程：，控制输入为零。(1)若A为标量有：初始时刻t0=0,则第三章状态方程的解(2)若A为方阵，第三章状态方程的解绝对一致收敛级数称为矩阵指数矩阵级数解：第三章状态方程的解求例3．1．1已知3.2矩阵指数3.2.1矩阵指数的性质第三章状态方程的

2、解第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解3.2.2几个特殊矩阵指数(1)若为对角矩阵证:第三章状态方程的解由定义知第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解约当矩阵若为（2）则有：第三章状态方程的解具有约当块的矩阵若为（3）其中：为约当块则有：第三章状态方程的解(4)若为3.2.3矩阵指数的计算(1)定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现(2)拉氏变换法：有：第三章状态方程的解例3.2.1用Laplace变换法计算矩阵指数：解：第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解(3)标准型法：第三章状态方程的解则有个互异的特征值设具有满足其中解:1

3、)特征值第三章状态方程的解例3.2.2已知矩阵试计算矩阵指数2)计算特征向量：3)构造变换阵P：第三章状态方程的解则有：第三章状态方程的解第三章状态方程的解设具有个重特征值则有解:1)计算特征向量和广义特征向量。第三章状态方程的解例3.2.3已知矩阵试计算矩阵指数得：2)计算矩阵指数：第三章状态方程的解第三章状态方程的解(4)化有限项法根据：第三章状态方程的解1)特征根两两互异：第三章状态方程的解第三章状态方程的解2)有个重特征值两端对求1至阶导数得：解方程组可求得第三章状态方程的解例3.2.4已知系统试用化有限的方法求矩阵的矩阵指数解：矩阵的特征

4、方程为：特征值为对于有对于有从而可联立求得：第三章状态方程的解因为-1是重根，故需补充方程：由此可得：第三章状态方程的解3.3线性时不变系统非齐次状态方程的解考虑系统：两边积分得：将左乘后求导得：第三章状态方程的解更一般的形似为：系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；第三章状态方程的解3.4线性时不变系统的状态转移矩阵另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。3.4.1基本概念线性时不变系统状态方程的解第三章状态方程的解(1)x(t)是由初值引起的零输入解和控制所产生的零状态解的叠加和。(2)

5、解的结构显示了从x(t0)到x(t)的一种变换关系。第三章状态方程的解3.4.2线性时不变系统的状态转移矩阵定义：线性定常连续系统的状态方程为：其中：称为状态转移矩阵。称满足如下矩阵方程第三章状态方程的解3.4.3状态转移矩阵的性质：得解阵称为系统的状态转移矩阵。3.5线性时变系统状态方程的解3.5.1线性时变系统齐次状态方程的解系统描述：为初始时刻，分段连续。第三章状态方程的解解的一般形式：第三章状态方程的解特殊情况：第三章状态方程的解解:第三章状态方程的解求例3.5.1考虑系统初始值为第三章状态方程的解解：第三章状态方程的解例3.5.2初始值为

6、求3.5.2线性时变系统的状态转移矩阵对于连续时间线性时变系统第三章状态方程的解系统的状态转移矩阵是如下矩阵微分方程和初始条件第三章状态方程的解3.5.3线性时变系统非齐次状态方程的解考虑系统其中：为初始时刻，分段连续。的解阵系统（1）的解为：第三章状态方程的解其中：为初始时刻，分段连续。为待定向量。代入状态方程得：等式两端积分得：第三章状态方程的解令则有：上式称为状态转移方程：以状态转移矩阵为核心工具。第三章状态方程的解3.6连续系统的时间离散化第一项是由初始状态引起的响应；第二项是由控制输入引起的响应。3.6.1近似离散化考虑系统当采样周期很小

7、时，有第三章状态方程的解第三章状态方程的解其中：3.6.2线性时不变系统状态方程的离散化考虑系统：其状态方程的解为：假设：(1)等采样周期T：第三章状态方程的解第三章状态方程的解则有：令则令则线性时不变系统离散状态方程为：第三章状态方程的解令连续系统离散化的几点说明：(1)近似离散化是一般离散化的特例(2)定常系统离散化是时变系统离散化的特例(3)一般说来，没有精确离散化(4)离散化是有条件的，“连续化”是无条件的第三章状态方程的解(5)连续系统的结论可以在离散系统中找到对应，反之则未必解：(1)近似离散化:离散化，例3.6.1把状态方程第三章状态

8、方程的解3.7线性离散系统状态方程的解所以近似离散化状态方程为:3.7.1递推法考虑离散时间系统：即第三章状态方程的解则有