2013高三数学精品复习教案：函数、导数及其应用.doc

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1、2013高三数学精品复习教案：函数、导数及其应用2.2函数的单调性【高考目标定位】一、考纲点击1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。二、热点、难点提示1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年的高考中均有重要体现。常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，求函数的最值或求某变量的取值范围等。2．在高考试题中三种题型都有可能出现，选择题、填空题题较多。【考纲知识梳理】一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1

2、2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。注：单调区间是定义域的子区间二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M②存在x∈I，使得f(x)=M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M②存在x∈I，使得f(x)=M结论M为最大值M为

3、最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。【热点、难点精析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

4、法（1）利用已知函数的单调性；（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义；（3）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗已知函数，给出以下三个条件:(1)存在，使得；(2)成立；(3)在区间上是增函数.若同时满足条件和（填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为.解析：满足条件

5、(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等〖例2〗（黑龙江庆安一中·2009高一期中）如果函数在区间[1，2]上是减函数，那么实数的取值范围是_____；如果函数与函数在区间[1，2]上都是减函数，那么实数的取值范围是___。〖例3〗(09遵义四中月考)设，(1)试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;解析:1)∵>0且2－x≠0∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴………………………………3分∵∴x2－x

6、1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分用数学归纳法易证证略.……  12分二、复合函数的单调性1．求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x).（3）分别确定这两个函数的单调区间；（4）若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数；若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。2．例题解析〖例1〗判断函数y=在定义域上的单调性分析：确定函数的定义域判断函数y=与u=x-1的单调性复合函数的单调性解答：∵y=，〖例2〗（1）求函数的单调区间；（2）已知若试

7、确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，分解基本函数为、显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：，，令，得或，令，或∴单调增区间为；单调减区间为。三、抽象函数的单调性及最值〖