安徽大学复变函数试卷.doc

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1、安徽大学2011—2012学年第2学期《复变函数》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系专业姓名学号座位号题号一二三四总分得分得分一、判断题（每小题2分，共20分）1.设是中区域上的复值函数，，则在处复导数存在的充要条件是，在处可微并且满足Cauchy-Riemann方程。·········································（）2.设是中区域上的解析函数，并且对任意，的实部与虚部满足，则在上是常数。························（）3.如果是中区域上的复值函数，，在处导数存在，则在处解析。··················

2、·························（）4.设是中非空单连通开集内解析函数，存在中序列，使得且存在极限点，则对任意，。··········（）5.如果是中非空开集上的复值函数，，在上解析，是的可去奇点，则是上的亚纯函数。·················（）6.是的共轭调和函数，则是的共轭调和函数。··················（）7.如果是上解析函数，并且是的可去奇点，则在处的留数为零。···········································（）1.一个幂级数在其收敛圆周上的敛散性有三种可能：（1）处处发散，（2）处处收敛，（

3、3）既有收敛点，又有发散点。······························（）2.如果函数在区域内解析，在内，则在内单叶。·························································（）3.如果是的极点，则是的本性奇点。···················（）得分二、计算题（每小题10分，共50分）1.求单位圆盘到上半平面的所有分式线性变换。2.设是内的解析函数，，并且，计算积分，其中是一条不过的光滑Jordan曲线。1.分别在，和内将展成洛朗级数。2.设，1)求在扩充复平面中所有奇点。（3分）2)指出每个奇

4、点的类别。（3分）3)计算在每个孤立奇点处的留数。（4分）1.求在区域内根的个数。得分三、证明题（每小题10分，共20分）1.设是围线的内部，在区域内解析，在闭域上连续，其模在上为常数。试证：若不恒等于一个常数，则在内至少有一个零点。2.设在原点附近的洛朗展式为。证明：在的某邻域内存在原函数的充要条件是。得分四、思考题（每小题5分，共10分）1.问在点处解析，且满足的函数是否存在？2.设是的本性奇点，试问是否一定是的本性奇点？说明理由。