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1、《导数的应用》复习【复习目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．【复习回顾】1.导数和函数单调性的关系：2.利用导数求解函数极值与最值的步骤:【基础检测】1．若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（）A4B4ΔxC4+2ΔxD2Δx2．若，则是的（ ）Ａ．极大值点Ｂ．极小值点Ｃ．极大或极小值点Ｄ．可能的极值点３．曲线在点P0处的切线平行于直线，则点P0的坐标是（ ）．A
2、．(0，1)B．(1，0)C．(－1,－4)或（1，0）D．(－1,－4)4.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.（,）B.（π,2π）C.（,）D.（2π,3π）5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）6．设是定义在Ｒ上的恒大于零的可导函数，且满足＞ ０，则当时有（ ）． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7、设P点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是()A．B．C．D．8、已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是()A．-1＜＜2B．-3＜＜6C．＜-3或＞6D．＜-1或＞29．已知曲线及点，则
3、过点可向引切线的条数为（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．310．函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（ ）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限11.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________12．当时，恒成立，则实数的取值范围是___________．13.如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增;②函数y=f（x）在区间（－,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数
4、y=f（x）有极小值;⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_____________14.已知f（x）=2ax－+lnx在x=－1,x=处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若对x∈［,4］时，f（x）＞c恒成立，求c的取值范围.15.已知x∈R,求证：ex≥x+1.16.若函数f（x）=x3－ax2+（a－1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.17、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积
5、以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．【能力提升】18、函数的值域是_____________.19．设，.（Ⅰ）令，讨论在（0，＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有.【小结】1.函数单调性的充分条件，若f′（x）＞0（或＜0），则f（x）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f（x）在（a,b）内可导，若f（x）在（a,b）上单调递增（或递减），则f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在（a,b）的任意子区间上都不恒为零.答案1——10CＤＣCＣBACＤＡ11、m≥12、；13、③14解:（1）∵f（x）=2ax－+ln
6、x,∴f′（x）=2a++.∵f（x）在x=－1与x=处取得极值，∴f′（－1）=0,f′（）=0,即解得∴所求a、b的值分别为1、－1.（2）由（1）得f′（x）=2－+=（2x2+x－1）=（2x－1）（x+1）.∴当x∈［,］时，f′（x）＜0;当x∈［,4］时，f′（x）＞0.∴f（）是f（x）在［,4］上的极小值.又∵只有一个极小值，∴f（x）min=f（）=3－ln2.∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3－ln2.∴c的取值范围为c＜3－ln2.15、证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1.∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0.当x
7、＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数.∴f（x）＞f（0）=0.当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0.∴对x∈R都有f（x）≥0.∴ex≥x+1.16、解:函数f（x）的导数f′（x）=x2－ax+a－1.令f′（x）=0,解得x=1或x=a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.当a－1＞1,即a＞2时，函数f（x）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a－1）内为减函数，在（a－1,+∞）上为
