第4章-傅里叶变换和系统的频谱分析教程文件.ppt

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1、第四章傅里叶变换和系统的频域分析9/19/202114.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱(傅里叶变换)4.5傅里叶变换的性质4.7周期信号的傅里叶变换4.8LTI系统的频域分析4.9取样定理9/19/20212正交信号空间设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列特性：——常数则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数f(t)，在区间内可以用组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解9/19/20214在使近似式的均方误差最小条件下，可求

2、得均方误差4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解若令趋于无限大，的极限等于零则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义1）——代表函数和间的相似程度或相关程度9/19/20215满足等式i为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。如果在正交函数集外,不存在函数，其中4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解完备正交函数集（定义2）9/19/20216完备---有两层意思：1.如果在区间内与正交，则必属于这个正交集。2.若与正交，但中不包含，则此集不完备。4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解即：函数f(t)在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中

3、的无穷级数。9/19/20217如果在区间内，复变函数集满足则称为正交函数集。4.1信号分解为正交函数信号的分量和信号的分解复变函数的正交特性若复变函数集是完备的，则9/19/20218周期信号f(t)在区间(t0,t0+T)可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称傅立叶级数。1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的原理。4.2傅里叶级

4、数9/19/202194.2傅里叶级数Dirichlet条件：(1)在一个周期内绝对可积；(2)在一个周期内只有有限个有限值的不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。1829年，Dirichlet给出了补充，只有当周期信号f(t)满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。(电子技术中的周期信号大都满足条件。)9/19/202110三角函数集是完备正交函数集4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数Sin0=0不包含在三角函数集中!9/19/2021114.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数傅里叶系数：9/19/2021124.2傅里叶

5、级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/2021134.2傅里叶级数周期信号展开为三角形傅里叶级数9/19/202114例：将下图所示方波信号f(t)展开为傅里叶级数解：4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/2021154.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/202116所以，所示信号的傅里叶展开式为：思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？？？均方误差为考虑时，本例中：4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/2021174.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/202118吉布斯（Gibbs）现象4.

6、2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点附近出现起伏，起伏频率随谐波分量增加而增加，起伏峰值不随谐波分量增加而减少，起伏峰值有9%的超量。9/19/202119吉伯斯现象产生原因时间信号的跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点处傅里叶级数出现非一致收敛。4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数N=5N=15N=50N=5009/19/202120若给定的函数f(t)具有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。f(t)为偶函数4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/202121偶函数

7、信号的傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/202122f(t)为奇函数奇对称信号的傅里叶级数展开式中只含有正弦项。4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/202123f(t)为奇谐函数(半波镜像信号)f(t)为偶谐函数(半波重叠信号)偶谐信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。奇谐信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流和偶次谐波分量。4.2傅里叶级数周期信号展开为三角型傅里叶级数9/19/202124例：正弦交流信号经全波或半波整流后