第6讲离散型随机变量的均值与方差.doc

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1、第6讲　离散型随机变量的均值与方差【2013年高考会这样考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．　　基础梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量

2、取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．两个防范在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(

3、X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝n.六条性质(1)E(C)＝C(C为常数)(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)双基自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D．2解析　由题意知a＋0

4、＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.s2＝＝2.答案　D2．已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B．4C．－1D．1解析　E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.答案　A3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为(　　)．A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9解析　x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝

5、8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案　A4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(　　)．A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45解析　∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴答案　A5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：ξ78910P0.30.350.20.15该随机变量ξ的均值是________．解析　由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0

6、.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案　8.2　　考向一　离散型随机变量的均值和方差【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B1A2和B2A3和B3现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．[审题视点]首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成

7、分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．解　(1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X＝3)＝××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝0)＝××＝；根据题意X＋Y＝3，所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝.X的分布列为X0123PY的分布列为Y3210P(2)E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝.(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列

8、，然后利用公式计算．(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解．【训练1】(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次