一轮复习配套讲义：第篇 第6讲 离散型随机变量的均值与方差

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1、第6讲　离散型随机变量的均值与方差[最新考纲]1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(2)方差：称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)3．两

2、点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝np(1－p)辨析感悟1．离散型随机变量的均值与方差(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.(√)2．均值与方差的性质(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)(4)已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y

3、)的值为.(√)(5)(2013·上海卷改编)设等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差为1，若随机变量X等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(X)＝30.(√)[感悟·提升]1．对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E(X)的关键在于写出随机变量的分布列．2．方差的意义D

4、(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度，如(5).考点一　离散型随机变量的均值与方差【例1】(2013·浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数．若E(

5、Y)＝，D(Y)＝，求a∶b∶c.审题路线　(1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量X的取值，计算相应的概率，再列出分布列．(2)用a，b，c表示出Y取值的概率，列出随机变量Y的分布列，求出均值和方差，转化为关于a，b，c的方程求解．解　(1)由题意得X＝2,3,4,5,6.故P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.所以X的分布列为X23456P(2)由题意知Y的分布列为Y123P所以E(Y)＝＋＋＝，D(Y)＝2·＋2·＋2·＝.化简得解得故a∶b∶c＝3∶2∶1.学生用书第196页规律方法求解该类问题，首先要理解

6、问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆．【训练1】(2014·南昌质检)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及

7、数学期望E(V)．解　(1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.(2)V的所有可能取值为0，，，，，又P(V＝)＝，P(V＝)＝＝，P(V＝)＝＝，P(V＝)＝，因此V的分布列为V0P由V的分布列可得E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.考点二　与二项分布有关的均值、方差【例2】(2013·福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两