第三章一阶微分方程的解的存在定理.doc

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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理教学目的：使学生掌握解的存在唯一性定理的内容及证明思想、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理的内容；掌握逐次逼近法；会判断解的存在区间；了解奇解的概念和解法．教学内容：1、解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz条件、Picard逼近序列、逐次逼近法．2、解的延拓定理与延拓条件．3、解对初值的连续依赖性和可微性定理4、奇解、包络、奇解、Clairaut方程．教学重点：解的存在唯一性定理及其证明教学难点：解的延拓定理、解对初值的连续依赖性、可微性定理的

2、证明教学过程：§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理定理１　如果在上连续且关于满足李普希兹条件，则方程(3.1)存在唯一解定义于区间上，连续且满足初始条件（3.3）其中可用皮卡（Picard）逐步逼近法证明这个定理，此外，用欧拉折线法（差分法）、绍德尔（Schouder）不动点方法等亦可证明．逐步逼近法的基本思想分五个命题来证明定理．命题１　设是方程(3.1)的定义于区间上，满足初始条件　　　　　　　的解，则是积分方程　　　　　　　　　　　　　（3.5）的定义于区间上的连续解，反之亦然．现取，构造皮

3、卡逐步逼近函数序列如下：　(3.7)命题２　对于所有的，(3.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.8)命题３　函数序列在上是一致收敛的．设　，则也在上连续，且由(3.８)又可知，　　　　　　　　命题４　是积分方程（3.5）定义于区间上的连续解．命题５　设是积分方程（3.5）定义于区间上的另一个连续解，则．附注１　（Ｐ84）附注2由于利普希兹条件比较难于检验，常用在上对于的连续偏导数代替．　附注３　（Ｐ85）定理２　如果在点的某个邻域内，　　　对所有变元连续，且存在连续偏导

4、数；　　　；　　　；则方程(3.15)存在唯一解．　　　　　　　（未足够小的任意正数）满足初始条件　　　　　　3.1.1近似计算与误差估计　　在(3.14)中令可得第次近似解和真正解在区间(3.19)在近似计算时，可根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数．例１　方程定义于矩形区域上，试利用存在唯一性定理确定过点的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过的近似解的表达式．作业：P881、3、4、5、7、9§3.２　解的延拓局部利普希兹条件，即对于内的每一点，有以其为中心的完全含于内的闭矩形存在，在上关于满足利普希兹条

5、件．解的延拓定理　如果方程(3.1)右端的函数在有界区域内连续，且在内关于满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的通过内任意一点的解可以延拓，直到点任意接近区域的边界．以向增大的一方的延拓来说，如果只能延拓到区间上，则当时，趋于区域的边界．推论　如果是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)的通过的解可以延拓，以向增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：(1)解可以延拓到区间；(2)解只可以延拓到区间，其中为有限数，则当时，或者无界，或者点趋于区域的边界．例１　讨论方程的分别通过点的解的存在区间．例２　讨论方程满

6、足条件的解的存在区间．§3.３　解对初值的连续性和可微性定理3.3.1解关于初值的对称性解关于初值的对称性定理　设方程(3.1)的满足初始条件的解是唯一的，记为，则在表达式中，和可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式　　　　　　　　3.3.2解对初值的连续依赖性引理　如果函数在某区域内连续，且关于满足利普希兹条件，则对方程(3.1)的任意两个解，在它们的公共存在区间成立着不等式　　　　　　　　　　　　　　(3.20)其中为所考虑区间内的某一值．解对初值的连续依赖性定理　设在区域内连续，且关于满足局部利普希兹条件

7、，，是(3.１)的满足初始条件的解，它在区间上有定义，则对于任意给定的，存在正数使得当　　　　　时，方程(3.1)的满足条件的解在区间上也有定义，并且　　　　证明（略，见P96）解对初值的连续性定理若在区域内连续，且关于满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的解作为的函数在它的存在范围内是连续的．3.3.3解对初值的可微性解对初值的可微性定理若及都在区域内连续，则方程(3.1)的解作为的函数在它的存在范围内是可微的．证明（略，见P100）