第三章一阶微分方程的解的存在定理A

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1、授课内容第三章一阶微分方程的解的存在定理所需课时8学时主要教材或参考资料王髙雄周Z铭朱思铭王寿松《常微分方程》，髙等教育出版社2006年第三版教学目标知识目标：1.理解和掌握解的存在唯一性定理与逐步逼近法。2.掌握近似计算和误差估计。3.解的延拓。4.解对初值的连续性和可微性定理。能力目标：灵活运用所学方法定理求解相关问题。教学重点解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学难点解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学方法1.讨论法2.讲授法教学内容及时间安排§3」解的存在唯一性定理与逐步逼近法2学时§3.2解的延拓2学吋§3.

2、3解对初值的连续性和可微性定理4学时学习指导1.复习教材和笔记中本章内容。2.阅读王高雄等《常微分方程》第三章。作业及思考题作业题：88页1,2,3题；89页6题102页1题第三章一阶微分方程的解的存在定理引言在笫二章介绍了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但大量的一阶微分方程一般是不能用初等解法求出它的通解的，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。自然提出问提：初值问题的解是否存在？？如果存在是否唯一？？举例：方程©=2“过点(0,0)的解就是不唯一的。P65dx本章介绍的存在唯一性定理完美地冋答

3、了上面提出的问题，明确地肯定了方程在一定条件下的存在性和唯一性，是常微分方程理论中最基本的定理。另一方面，能求得精确解的微分方程很少，微分方程的近似解法具有重要的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。由于条件的限制，实际测出的初始数据通常是不精确的，只能近似地反映初始状态。因此提出问题：以它为初始条件的解能否用作真正的解？这就产生了解对初始值的连续依赖性问题，即当初始值微小变化时，方程的解的变化是否也很小？本章重点介绍和证明一阶方程的解的存在唯一性定理，并叙述解的一些一般性质如解的延拓、解对初值的连续

4、性和可微性等等。§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理一阶微分方程~~-y)(3.1)ax这里f(x,y)是在矩形域R:卜一兀()

5、0,使得不等式/(兀」)一/(32)

6、"卩】一儿对于所有的(兀,/),(兀,力)丘人都成立。L称为利普希茨常数。定理1如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程(3.1)存在唯一的解y=0(x),定义于区间兀-兀

7、。0(3.3)b总结给岀定理。简单叙述运用皮卡逐步逼近法证明定理的主要思想P67,P68,以及什么是第n证明学生较难理解，结合实例进行分析。次近似解。为简单，只在区间x（）

8、x0+/?±的连续解。反之亦然。证明：P78.现在取0（）（兀）=儿,构造皮卡逐步逼近函数序列如下：00（兀）=儿血（兀）=儿+x0

9、兀）是积分方程（3,5）的定义于x0

10、="(32镖("-儿

11、))山_乃

12、这里(x,y}),(x,y2)gR,0<0