一阶微分方程解的存在定理.doc

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1、第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。2.了解解的延拓定理及延拓条件。3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。[教学重难点]解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。[教学方法]讲授，实践。[教学时间]12学时[教学内容]解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2.熟练

2、近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。§1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保

3、证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程过点的解就是不唯一，易知是方程过的解，此外，容易验证，或更一般地，函数都是方程过点而且定义在区间上的解，其中是满足的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不

4、唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程（3.1）这里是在矩形域：（3.2）上连续。定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件（3.3）其中,称为Lipschitz常数.思路：1）求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解。2）构造近似解函数列任取一个连续函数，使得，替代上述积分

5、方程右端的，得到如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到（3.4）于是得到函数序列.3）函数序列在区间上一致收敛于，即存在，对(3.4)取极限,得到即.4)是积分方程在上的连续解.这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.为了讨论方便,只考虑区间,对于区间的讨论完全类似.命题1设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件（3.3）的解,则是积分方程(3.5)的定义于上的连续解.反之亦然.证明因为是方程(3.1)满足的解,于是

6、有两边取到的积分得到即有所以是积分方程定义在区间上的连续解.反之,如果是积分方程(3.5)上的连续解,则（3.6）由于在上连续,从而连续,两边对求导,可得而且,故是方程(3.1)定义在区间上,且满足初始条件的解.构造Picard的逐次逼近函数序列.（3.7）命题2对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式（3.8）证明用数学归纳法证明当时，，显然在上有定义、连续且有即命题成立.假设命题2成立，也就是在上有定义、连续且满足不等式当时，由于在上连续,从而在上连续，于是得知在上有定义、连续,而且有即命题2对时也成立.由数学

7、归纳法知对所有的均成立.命题3函数序列在上是一致收敛的.记,证明构造函数项级数(3.9)它的部分和为于是的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价.为此，对级数(3.9)的通项进行估计.(3.10)由Lipschitz条件得知设对于正整数,有不等式成立,则由Lipschitz条件得知,当时,有于是由数学归纳法可知,对所有正整数,有(3.11)由正项级数的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数(3.9)在上一致收敛.因而序列在上一致收敛.设,则也在上连续,且命题4是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.证明由Lipschit

8、z条件以及在上一致收敛于,可知在上一致收敛于.因此即故是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.命题5设是积分方程(3.5)的定义在上的一个连续解,则,.证明设,则是定义在的非负连续函数,由于而且满足Lipschitz条件,可得令,则是