第二章导数与微分总结.doc

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1、第二章导数与微分总结一、导数与微分概念1．导数的定义设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，，则我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。2．导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。切线方程：法线方程：设物体作直线运动时路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。3．函数的可导性与连续性之

2、间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，，在处连续，却不可导。4．微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。我们定义自变量的微分就是。5．微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）。6．可微与可导的关系在处可微在处可导。且一般地，则所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7．高阶导数的概念如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二

3、阶导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记以，，等，这时也称是阶可导。二、导数与微分计算1．导数与微分表（略）2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式设的反函数为，则（3）复合函数求导和微分公式设，则（4）隐函数求导法则每一次对求导，把看作中间变量，然后解出例：，确定，求解：两边每一项对求导，把看作中间变量然后把解出来（5）对数求导法取对数后，用隐函数求导法则求导得解出解出解出（6）用参数表示函数的求导公式设则