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《重庆科创职业学院教案第2章第3节高阶导数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、重庆科创职业学院授课方案（教案）课名：高等数学（上）教师：杨勇班级：编写时间：课题：2.3高阶导数授课时数2节教学目的及要求：了解高阶导数的概念;会求简单的n阶导数教学重点：初等函数的二阶导数问题.教学难点：复合函数高阶导数教学步骤及内容：一、高阶导数的概念：一般地,函数y=f(x)的导数y¢=f¢(x)仍然是x的函数.我们把y¢=f¢(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y¢¢、f¢¢(x)或,即y¢¢=(y¢)¢,f¢¢(x)=[f¢(x)]¢,.相应地,把y=f(x)的导数f¢(x
2、)叫做函数y=f(x)的一阶导数.类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,×××,一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数,分别记作y¢¢¢,y(4),×××,y(n)或,,×××,.函数f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导.如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y¢称为一阶导数,y¢¢,y¢¢¢,y(4),×××,y(n)都称为高阶导数.二、例题分析：例1．
3、y=ax+b,求y¢¢.解:y¢=a,y¢¢=0.例2．s=sinwt,求s¢¢.解:s¢=wcoswt,s¢¢=-w2sinwt.例3．证明:函数满足关系式y3y¢¢+1=0.旁批栏：例4．求函数y=ex的n阶导数.解;y¢=ex,y¢¢=ex,y¢¢¢=ex,y(4)=ex,一般地,可得y(n)=ex,即(ex)(n)=ex.例5．求正弦函数与余弦函数的n阶导数.解:y=sinx,,,,,一般地,可得,即.用类似方法,可得.例6．求对函数ln(1+x)的n阶导数解:y=ln(1+x),y¢=(
4、1+x)-1,y¢¢=-(1+x)-2,y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3,y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4,一般地,可得y(n)=(-1)(-2)×××(-n+1)(1+x)-n,即例7．求幂函数y=xm(m是任意常数)的n阶导数公式.解:y¢=mxm-1,y¢¢=m(m-1)xm-2,y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3,y(4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4,一般地,可得y(n)=m(m-1)(m-2)×××(m-n+1)xm-n,即(xm)(n)=m(
5、m-1)(m-2)×××(m-n+1)xm-n.当m=n时,得到(xn)(n)=m(m-1)(m-2)×××3×2×1=n!.而(xn)(n+1)=0.如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处具有n阶导数,那么显然函数u(x)±v(x)也在点x处具有n阶导数,且(u±v)(n)=u(n)+v(n).(uv)¢=u¢v+uv¢(uv)¢¢=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢,(uv)¢¢¢=u¢¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢,旁批栏：例8．y=x2e2x,求y(20).解:设u=e2
6、x,v=x2,则(u)(k)=2ke2x(k=1,2,×××,20),v¢=2x,v¢¢=2,(v)(k)=0(k=3,4,×××,20),代入莱布尼茨公式,得y(20)=(uv)(20)=u(20)×v+C201u(19)×v¢+C202u(18)×v¢¢=220e2x×x2+20×219e2x×2x218e2x×2=220e2x(x2+20x+95).三、小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法，莱布尼茨公式.思考:莱布尼茨公式求两函数乘积的导数时有什么窍
7、门吗?四、作业布置：二（1，3，5）板书设计一、二阶导数的求解二、高阶导数求解旁批栏：
