重庆科创职业学院教案(114幂级数

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1、重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（下）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：2008-8课题：幂级数教学目的及要求：了解幂级数的收敛域的构造及求法，理解幂级数运算的性质。教学重点：幂级数收敛域的求法，幂级数的运算。教学难点：幂级数收敛半径和收敛区间的求法，利用幂级数的运算性质求和函数。教学步骤及内容：一、函数项级数的概念1.函数项级数的概念（1）如果级数的各项都是定义在某区间中的函数，就叫做函数项级数．当自变量取特定值，如时，级数变成一个数项级数．如果这个数项级数收敛，称为函数项级数的收敛点，如发散，称为发散点，一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收

2、敛域．（2）和函数函数项级数对收敛域内的任意一个数，函数项级数成为一个常数项级数，故有一个和.于是，函数项级数的和是的函数，通常称为函数项级数的和函数.其定义域是级数的收敛域.写为.在收敛域内有.是函数项级数的余项（收敛时才有意义）.例1　判断的收敛性，并求其收敛域与和函数.解　此级数为几何级数(即等比级数),由第一节例1知

3、x

4、<1时,级数收敛，

5、x

6、≥1时级数发散.故其收敛域为,和函数为：旁批栏：二、幂级数及其收敛性1.定义：形如的级数称为幂级数，其中常数叫做幂级数的系数.例如，2.幂级数的收敛定理考察幂级数.公比为的等比级数，当时收敛；当时发散出发，

7、因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间，此例推广到一般情形，则有关于收敛域的阿贝尔定理：定理1（阿贝尔定理）　如果级数当（）时（使）收敛，则当时，幂级数绝对收敛；反之，如果当发散，则当时，幂级数发散．证　先设是幂级数的收敛点，根据级数收敛的必要条件，有，于是存在一个常数，使得（=0,1,2,…）这样级数的一般项的绝对值.因为当

8、x

9、<

10、x0

11、时，等比级数收敛（公比），所以级数收敛，也就是级数绝对收敛.定理第二部分可用反正法证明，若幂级数当时发散而有一点适合使级数收敛，则根据本定理第一部分，级数当时应收敛，这与所设矛盾.定理得证.推论：如果幂级数不是

12、仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的数R存在，使得当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当与时，幂级数可能收敛也可能发散．旁批栏：正数通常叫做幂级数的收敛半径，开区间叫做幂级数的收敛区间．3.收敛区间和收敛半径的求法定理2　如果幂级数当充分大以后都有，且，则　　⑴当时，，⑵当时，，⑶当时，.证　考察幂级数的各项取绝对值所成的级数这级数相邻两项之比为（1）如果存在，根据比值审敛法，则当时，级数收敛，从而级数绝对收敛；当时，级数发散并且从某一个开始，因此一般项不能趋于零，所以也不能趋于零，从而级数发散，于是收敛半径R=.(2)如果r=0，

13、则任何，有，所以级数收敛，从而级数绝对收敛．于是.(3)如果，则对于除外的其他一切值，级数必发散，否则由定理1知道将有点使得级数收敛，于是.[课内练习]例2　求下列各幂级数的收敛域⑴解　∵∴旁批栏：当时，级数成为（发散）当时，级数成为（收敛）∴收敛域为⑵解　∵级数中只出现的偶次幂，∴不能直接用定理来求可设，由比值法可知当，即，幂级数绝对收敛当，即，幂级数发散，故当时，级数成为，它是发散的，因此该幂级数的收敛域是．幂级数一般形式的讨论，可用变换，使之成为进行．三、幂级数的运算1.幂级数的运算设幂级数及分别在区间（-R,R）及（-R′,R′）内收敛,对于这两个

14、幂级数，有下列四则运算：加减法：()±()＝乘法：()×()＝可以证明上2式在（）与（）中较小的区间内成立.除法：待定系数法.2.幂级数的和函数的性质：旁批栏：性质1　幂级数的和函数在其收敛域I上连续.性质2　幂级数的和函数在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3　幂级数的和函数在其收敛区间（）内可导，且有逐项求导公式逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例3　求幂级数的和函数.解　先求收敛域.由得收敛半径.在端点处，幂级数成为，是收敛的交错级数；在端点处，幂级数成为，是发散的.因此收敛域为.

15、设和函数为，即于是利用性质3，逐项求导，并由得对上式从0到x积分，得于是，当时，有而可由得出，故小结与思考：小结：幂级数是函数项级数中最基本的一类．它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分．由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义．本次课主要学习了幂级数的收敛半径和收敛域的求法以及如何求幂级数的和函数的方法．在求缺奇数次项（或缺偶数次项）等幂级数的收敛半径时不能使用定理中的方法；在求幂级数的和函数时要注意确定其定义域，旁批栏：是求幂级数的和函数

16、时最常用的重要结论．作业时还应注意阿贝尔定理的使用．思考：⒈函数项