高三第一轮复习数学---二次函数.doc

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1、高三第一轮复习数学---二次函数（1）一、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．二、教学重点：1．二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点，2．二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。三、教学过程：（一）主要知识：一）正比例函数，一次函数，反比例函数1.正比例函数2.一次函数其图象为一直线，时增函数，时减函数。而时为常数函数。3.反比例函数定义域，值域，图象是双曲线，时在上递减，时在递增。二）二次函数1．二

2、次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其中a是开口方向与大小，c是Y轴上的截距，而是对称轴。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，方程f(x)-x=0的两根为，则可设f(x)-x=或。2．二次函数f(x)=

3、ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)4．二次函数与一元二次方程关系方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式的解集为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值范围。二次函数△情况一元二次方程一元二次

4、不等式解集Y=ax2+bx+c(a>0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a>0)ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)图象与解△>0△=0△<0方程无解R（二）主要方法：1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．（三）例题分析：1.正比例函数，一次函数，反比例函数例1作函数的图象，并指出函数的定义域、值域，单调区间，对称轴、对称中心及顶点坐标。分析：

5、先通过图象变换法则作出函数的图象，由图象推断各性质。解：，所以其图象为双曲线从而，定义域、值域，在上递1-2oxyy=-2x=1（1，-2）减，对称轴、对称中心（1，-2），顶点坐标（0，-3）和（2，-1）。而且渐近线点评；从新的、深化的角度理解反比例函数。例2.若函数在上恒为正值，求实数的取值范围。解析：若把此函数视为关于的二次函数，则问题变得较为复杂，而若把此函数视作关于的函数，则为一次函数，可使之简单化。解：原函数化为：为关于的一次函数，所以，只需。点评：1.充分利用一次函数的恒单调性。2.学会换个角度看问题。2求二次函数的解析

6、式例3已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。思维分析：恰当选择二次函数的解析式，且得的对称轴为，故或f(-1)=-1，故有：解：法一：利用一般式设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：或解得：∴f(x)=-4x2+4x+7法二：利用顶点式∵对称轴又最大值是8∴可设，由f(2)=-1可得a=-4法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a=-4或a=0(舍)∴f(x)=-4x2+4x+7

7、练习（变式1）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足下列条件：(1)图象过原点(2)f(-x+2002)=f(x-2000)(3)方程f(x)=x有重根。解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴可确定，由(3)f(x)=x即ax2+（b-1）x+c=0有重根例4.97高考题(24)(本小题满分12分)     设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根满足          (Ⅰ)当x∈(0,)时,证明x

8、分析问题       和解决问题的能力.满分      证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为是方程f(x)-x=0的根,所以　　            　F(x)=a(x-)(x-).