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1、高三第一轮复习数学---等比数列一、教学目标：掌握等等比数列的定义，通项公式和前项和的公式，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．二、教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前项和的公式的应用．三、教学过程：（一）主要知识：1．定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2．通项公式,推广形式:,变式3．前n项和注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且5．在等比数列中有如下性质:(1)若(2)下标
2、成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若(4)前n项和法:若7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对讨论②当()（二）主要方法：1．涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量来处理；2．使用等比数列前项和公式时，必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为；若偶数个成等差数列且和为定值时，可
3、设中间两项为，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．（三）例题分析：1．关于基本量的计算例1．数列为等比数列,求下列各值,(1)已知(2)(3)思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题解(1)(2)(3)例2．.设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n项和是6560,求a和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分
4、类讨论思想,解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,于是练习:设等比数列的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.答案:2.关于等比数列的证明例3.已知数列,Sn是它的前n项和,且(1)设,求证:数列是等比数列(2)设,,求证:数列是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n项和Sn已知可求an解:(1),由此可得是等比数列且首项(2)可知是首项的等差数列,练习:变式2:数列的前n项和,那么数列是等比数列吗?为什么?解:例4.数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,①写出的前
5、5项②证明是等比数列思维分析:容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可.解(1)的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设3.数学应用题----数列建模例5.一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出，再结合数列相关性质解题。解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了，因此球第十次着地时共经过的路程为练习变式4：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩
6、子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元,一年定期，若年利润率为r，保持不变，且每年到期时，存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回总钱数为多少？解:备用题：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an、bn的表达式。（2）至
7、少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？思维分析：建立等比数列模型解：（1）（2），至少经过5年。（四）巩固练习：1．（1）设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项为2．（2）已知等差数列的公差，且成等比数列，则．2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数．解：设这四个数为：，则解得：或，所以所求的四个数为：；或．3．由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式
8、．解：当时，得不成立，∴，①②∴由①得，代入②得，∴．说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．4．已知等差数列，（1）在区间上，该数
