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1、最短路问题（图论）2011寒假集训图论什么是图?ABCD哥尼斯堡七桥示意图问题1(哥尼斯堡七桥问题):能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而回到出发点？ABDC七桥问题模拟图欧拉指出：如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地.问题2(哈密顿环球旅行问题):十二面体的20个顶点代表世界上20个城市，能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个城市恰好一次最后回到出发点？哈密顿圈（环球旅行游戏）问题3(四色问题):对任何一张地图进行着色，两个共同边界的国家染不同的颜色，则只需要四种颜色就够了.问题4(关键路径问题):一项工
2、程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小至组装一台机床,一架电视机,都要包括许多工序.这些工序相互约束,只有在某些工序完成之后,一个工序才能开始.即它们之间存在完成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的,而且也能够预计完成每个工序所需要的时间.这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才能够完成整个工程项目,影响工程进度的要害工序是哪几个？图论的基本概念图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图,而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统.定义1一个有序二元组(V,E)称为一个图,记为G=(V,E),其中①V称为G的顶点集
3、,V≠,其元素称为顶点或结点,简称点;②E称为G的边集,其元素称为边,它联结V中的两个点,如果这两个点是无序的,则称该边为无向边,否则,称为有向边.如果V={v1,v2,…,vn}是有限非空点集,则称G为有限图或n阶图.如果E的每一条边都是无向边,则称G为无向图(如图1);如果E的每一条边都是有向边,则称G为有向图(如图2);否则,称G为混合图.图1图2并且常记V={v1,v2,…,vn},
4、V
5、=n;E={e1,e2,…,em}(ek=vivj),
6、E
7、=m.称点vi,vj为边vivj的端点.在有向图中,称点vi,vj分别为边vivj的始点和终点.对于一个图
8、G=(V,E),人们常用图形来表示它,称其为图解.凡是有向边,在图解上都用箭头标明其方向.例如,设V={v1,v2,v3,v4},E={v1v2,v1v3,v1v4,v2v3,v2v4,v3v4},则G=(V,E)是一个有4个顶点和6条边的图,G的图解如下图所示.一个图会有许多外形不同的图解,下面两个图表示同一个图G=(V,E)的图解.其中V={v1,v2,v3,v4},E={v1v2,v1v3,v1v4,v2v3,v2v4,v3v4}.今后将不计较这种外形上的差别,而用一个容易理解的、确定的图解去表示一个图.有边联结的两个点称为相邻的点,有一个公共端点的边称为
9、相邻边.边和它的端点称为互相关联.常用d(v)表示图G中与顶点v关联的边的数目,d(v)称为顶点v的度数.用N(v)表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合.d(v1)=d(v3)=d(v4)=4,d(v2)=2.我们今后只讨论有限简单图：(1)顶点个数是有限的;(2)任意一条边有且只有两个不同的点与它相互关联;(3)若是无向图,则任意两个顶点最多只有一条边与之相联结;(4)若是有向图,则任意两个顶点最多只有两条边与之相联结.当两个顶点有两条边与之相联结时，这两条边的方向相反.如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条边上增设顶点使之满足.定义2若将图G的每
10、一条边e都对应一个实数F(e),则称F(e)为该边的权,并称图G为赋权图(网络),记为G=(V,E,F).定义3设G=(V,E)是一个图,v0,v1,…,vk∈V,且1≤i≤k,vi-1vi∈E,则称v0v1…vk是G的一条通路.如果通路中没有相同的边,则称此通路为道路.始点和终点相同的道路称为圈或回路.如果通路中既没有相同的边,又没有相同的顶点,则称此通路为路径,简称路.定义4任意两点均有通路的图称为连通图.定义5连通而无圈的图称为树,常用T表示树.例：一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能
11、独处.给出渡河方法.解：用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有24=16种状态.在河东岸的状态类似记作.由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允许的,从而对应状态(1,0,0,1),(1,1,0,0),(1,0,0,0)也是不允许的.以可允许的10个状态向量作为顶点,将可能互相转移的状态用线段连接起来构成一个图.根据此图便可找到渡河方法.(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)(0,0,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,
12、0)(0,1,0,0)(
