十字相乘法及分组分解法（基础）知识讲解.doc

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1、十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1.熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2.基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3.对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4.掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分

2、解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”　　（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和

3、公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多

4、项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）【答案与解析】解：（1）因为       所以：原式＝（2）因为            所以：原式＝（3）【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号.二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）【答案】解：（1）（2）（3）2、将下

5、列各式分解因式：（1）；（2）（3）；（4）.【思路点拨】（3）题可看成常数项，.（4）题可将看成一个整体来分解因式.【答案与解析】解：（1）；（2）.（3）；（4）因为所以：原式       【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】解：（1）；（2）；（3）；（4）.3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）因为         所以：原式＝（2）因为   

6、      所以：原式＝【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）；【答案】解：（1）；（2）；（3）.类型二、分组分解法4、把分解因式．【思路点拨】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式和，并且另一个因式都是()，因此可继续分解．【答案与解析】解法一：．解法二：．【总结升华】把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另

7、一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式.