分组分解法和十字相乘法

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1、分解因式之分组分解法学习目的　　使学生掌握分组后能提取公因式的分组分解法，并培养学生自学能力和探索、发现、解决问题的能力．学习重点和难点恰当分组，使组间具有公因式．学习过程　　一、提问　　1．什么叫因式分解？已经学过哪两种分解因式的方法？　　2．因式分解和乘法运算是什么关系？　　3、把a(m+n)+b(m+n)分解因式．　　二、新问题的提出把am+an+bm+bn分解因式．　三、归纳小结　　把多项式的各项利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法；如果多项式的各项分组提取公因式后使得各组另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来

2、分解因式；分组分解法运用了加法的交换律和结合律．例1试把下列各式分解因式：(1)a2-ab+ac-bc；(2)2ax-10ay+5by-bx；(3)3ax+4by+4ay+3bx；例2试把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay　(2)a2-2ab+b2-c2；(3)x3+x2y-xy2-y3．四、总结　　应用分组分解法分解因式时，分组的方法不一定是唯一的．分组时要使各组有相同的公因式；各组提取公因式时，如果提出负号，则应注意括号里的各项一定要变号；运用加法交换定律交换多项式的项时，一定要带着原来的符号．五、课堂练习把下列各式分解

3、因式：(1)20(x+y)+x+y；(2)5m(a+b)－a－b　(3)a2＋ab－ac－bc；(4)3a－ax－3b+bx　　(5)5ax+6by+5ay+6bx；(6)4x2-y2-yz+2xz(7)4a2－b2+6a－3b；(8)9m2－6m+2n－n2；　(9)x2－y2－z2+2yz；六、课外作业　把下列各式分解因式：　1、(1)xy-xz+y-z；(2)ax-2bx+ay-2by(3)4xy-3xz+8y-6z；(4)x3+3x2+3x+9　2、(1)3xy-2x-12y+8；(2)x3y+3x-2x2y2-6y3、(1)6

4、ax+15b2y2-6b2x-15ay2；　　(2)7x2-3y+xy-21x；(3)3a2+bc-3ac-ab；　　(4)a2m+bn-an-abm4.(1)1-m2-n2+2mn；(2)x3y-xy3；　(3)4x2-y2+2x-y；(4)x4y+2x3y2-x2y-2xy2；　　(5)(z2-x2-y2)2-4x2y2(6)x3－x2y－xy2+y3；分解因式之十字相乘法我们知道，反过来，就得到二次三项式的因式分解形式，即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。一般

5、地，由多项式乘法，，反过来，就得到这就是说，对于二次三项式，如果能够把常数项分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。例1把分解因式。分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。解：因为2=1×2，并且1+2=3，所以例2把分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1×6=(-1)×(-6)=2×3=(-2)×(-3)，要

6、使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6即可。解：因为6=(-1)×(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以例3把分解因式。分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21可以分解成-21=(-1)×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7)，其中只需取3与-7，其和3+(-7)等于一次项的系数-4。例4把分解因式。解：因为-15=(-3)×5，并且(-3)+5=2，所以通过例1︿4可以看出，把分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。如果常数项q是负数，那么

7、把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。例5把下列各式分解因式：(1)(2)例6把分解因式。分析：把看成x的二次三项式，这时，常数项是，一次项系数是-3y，把分解成-y与-2y的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。我们知道，。反过来就得到的因式分解的形式，即。我们发现，二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成1235后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。由上面

8、例子启发我们，应该如何把二次三项式进行因式分解。我们知道，反过来，就得到我们发现，二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，排列如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到+，如果它们正好等于的一次项系数，