泛函分析8§1-3,习题选讲与答案.doc

《泛函分析8§1-3,习题选讲与答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、泛函分析习题选讲（8）例1设X=C[a,b],t1,…,tn定义X上的线性泛函：若求证f是X上的有界性泛函，求。证明任意x,

2、f(x)

3、=

4、

5、.所以

6、

7、f

8、

9、存在，，使。存在，x,使且

10、

11、x

12、

13、=1.这样

14、f(x)

15、=

16、

17、

18、=，所以.

19、

20、f(x)

21、

22、由此，我们证明了

23、

24、f(x)

25、

26、=

27、

28、。证毕。例题2设F是上的线性泛函，（的定义参见七章例题讲例5）。若F满足条件：若且任意则称F是正的线性泛函，求证：上的正的线性泛函的连续的。证明任意复值函数f，都可以写成iy,其中x,y是中的实值函数，

29、

30、x

31、

32、且

33、

34、y

35、

36、.而实值函数又可以

37、x=-，其中均是中的非负函数，且同理和是非负函数，且。若存在，使任意非负函数，则必有界事实上，任意若在中的非负函数上是无界的，则存在非负函数，，由于，因此第七章例题选讲例3，收敛。对任意，是非负函数，，因此，这样，此与是上定义的线性泛函矛盾，因此必为有界的，证毕。例3．设是上正的线性泛函。求证：任意，证明（1）若是中实函数，则，其中，是中非负函数，则是实数。（2）若是中复函数，其中是实函数，则。（3）若是中函数，我们来证明。对任意复数，不妨设，令代入上式得因，得证毕习题解答1．举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间。解

38、设是收敛到0的数列全体组成的空间。若，则是定义上的算子，。易验证是有界的，且设，则不属于的值域。因此的值域不是闭的线性子空间。2．求线性泛函的范数。解由。设则，且。由此，。令。这样。3．设无穷阵满足。作到中算子如下：若，，，则证明：证明：设则若，，，因此对任意，存在，使。设，其中则，且若，因此由于是任意的，故，这样我们就证明了。证毕4.设，在中定义线性算子：，，，其中，，证明是有界线性算子，并且。证明：设。由。对任意，存在，使。设，其中若，则；而。我们可验证。由于的任意性，得。于是。证毕5．是维向量空间，在中任取一组基，是矩

39、阵，作到中算子如下：当时，其中，若向量的范数为。证明上述算子的范数满足。证明：若，则。所以。对任意，。于是，所以。因此。证毕6．设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子，若的零空间是闭集，是否一定有界？解：令，其中是上多项式函数全体，视为的子空间是到的微分算子。若，则是常值函数。显然常值函数全体是闭子集，但是非有界的。（见教材底一节例九）7．作中算子如下：当时，，其中证明：是有界线性算子。证明：若，由Holder不等式，有，因此。证毕8．按范数，成赋范线性空间，问的共轭空间是什么？解记按范数组成赋范线性空间为，按范数组成赋范

40、线性空间为，我们来证明。定义到的映射。任意，，其中。对任意，于是反之，对任意。定义：对任意，，则。因此是到的映射若，则显然，则。若令，则因此。从而。于是是从到的同构映射。在同构的意义下。证毕9.设表示极限为0的实数列全体，按通常的加法和乘法，以及，构成空间，证明：证明：令，则，。对任意，定义。以下先证，且记，则，且，由于。因此，令，。这就证明了，且再证对任意，定义上线性泛函：若，则，因此。又因为因此，且，于是由以上证明可知。是到上的同构映射。而在同构意义下，。证毕