空间中的夹角与距离 高考数学知识点总结 高考数学真题复习.doc

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1、§8.6　空间中的夹角与距离2014高考会这样考　1.考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的概念及求法；2.考查点到平面的距离的概念及求法．复习备考要这样做　1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念；能在图形中找到或作出所求的角，并能选择正确的方法进行计算；2.理解点到平面距离的意义，能作出点到平面的垂线段，或能用转化法求点到平面的距离．1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)

2、叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：.2．斜线和平面所成的角(1)定义：斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的角．当直线和平面平行时，称直线和平面成0°角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成90°角．(2)范围：.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π

3、]．4．点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离．[难点正本　疑点清源]1．解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”．空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法．求角的一般步骤：(1)找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定义；(3)化归到某一个三角形中进行计算．2．空间两图形之间的距离最终都转化为两点之间的距离，通过解三角形或特殊图形得到解决．关于距离问题的解法体现了数学的等价转化和数形结合思想：点到平面

4、之间距离转化为点和垂足之间距离或者转化为以该点为顶点的三棱锥的高．解决立体几何距离问题，不仅在于怎样计算，更重要的是为什么这样算，因此，从正确作图，归纳推理到熟练计算每一环节都很重要，所以，要培养提高正确作、严密证、快速算的能力．1．A、B两点相距4cm，且A、B与平面α的距离分别为3cm和1cm，则AB与平面α所成的角是(　　)A．30°B．90°C．30°或90°D．30°或90°或150°答案　C解析　注意分类讨论．当A、B在平面α的两侧时，AB⊥α即AB与α所成的角为90°，当A、B在平面α

5、的同侧时，AB与平面α所成的角为30°.2．平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB＝12，则A′B′等于(　　)A．4B．6C．8D．9答案　B解析　如图所示，连接A′B可知∠ABA′＝，则A′B＝ABcos＝6，连接AB′可知∠BAB′＝，则BB′＝ABsin＝6，在Rt△BB′A′中，A′B′＝＝6.3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形沿对角线BD折成四面体A′—BCD

6、，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′—BCD的体积为答案　B解析　如图所示，取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD

7、⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝，∴A′B⊥A′D，A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′—BCD＝S△A′BD·CD＝，D错误．4．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为________．答案　解析　过点M作MN∥PA交PB于点N，∠CMN即为PA与CM所成的角，N为PB的中点，CM＝CN＝PA，MN＝PA，在等腰三角形CMN中，cos∠CMN＝.5．在

8、三棱锥A—BCD中，AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且面ABD⊥面CBD，给出下列结论：①AC⊥BD；②△ACD是等腰三角形；③AB与面BCD成60°角；④AB与CD成60°角．其中正确的是________．(填序号)答案　①②④解析　③中AB与面BCD成的角为45°.至于④，可以将三棱锥补成一个底面是正方形的四棱锥A—BCDE，易知∠ABE＝60°，即AB与CD所成的角为60°.题型一　异面直线所成的角例1　如图所示，在长方体ABCD—A1B1C