高考数学一轮复习 7.6空间中的夹角与距离学案.doc

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1、§7.6　空间中的夹角与距离学考考查重点　1.考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的概念及求法；2.考查点到平面的距离的概念及求法．本节复习目标　1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念；能在图形中找到或作出所求的角，并能选择正确的方法进行计算；2.理解点到平面距离的意义，能作出点到平面的垂线段，或能用转化法求点到平面的距离．教材链接·自主学习1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角

2、)．(2)范围：.2．斜线和平面所成的角(1)定义：斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的角．当直线和平面平行时，称直线和平面成角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成角．(2)范围：.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做，每个半平面叫做．(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做．(3)范围：．4．点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离．基础知识·自我测试1．A

3、、B两点相距4cm，且A、B与平面α的距离分别为3cm和1cm，则AB与平面α所成的角是(　　)A．30°B．90°C．30°或90°D．30°或90°或150°2．平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB＝12，则A′B′等于(　　)A．4B．6C．8D．93．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形沿对角线BD折成四面体A′—BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)A．A′C⊥BDB

4、．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′—BCD的体积为4．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为________．5．在三棱锥A—BCD中，AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且面ABD⊥面CBD，给出下列结论：①AC⊥BD；②△ACD是等腰三角形；③AB与面BCD成60°角；④AB与CD成60°角．其中正确的是________．(填序号)题型分类·深度剖析题型一　异面直线所成的角例1　如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，

5、BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面ODC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成的角的余弦值．变式训练1：　如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E为棱BC的中点．若PD＝1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．题型二　直线与平面所成的角例2　如图，四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值．

6、变式训练2：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，E，H分别是A1B1和BB1的中点．(1)求证：直线EH∥平面AD1C；(2)求直线B1C与平面AC1D1所成角的余弦值．题型三　二面角例3　如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．变式训练3：(2013·浙江)如图，在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的

7、中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．(1)证明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，求二面角B—AP—C的大小．题型四　点到平面的距离例4　在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB＝CC1＝a，BC＝b.(1)设E，F分别为AB1，BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；(2)求证：A1C1⊥AB；(3)求B1到平面ABC1的距离．变式训练4：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝

8、2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD的距离．