资源描述：
《差分方程建模专题讲座ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、差分方程建模专题讲座王小才主讲教师：淮阴工学院数理学院2010年全国大学生数学建模竞赛暑期集训差分方程的基本概念1全国赛题选讲3差分方程建模专题讲座用Matlab求解差分方程问题2对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(1.1)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(1.1)的解,包含k个任意常数的解称为(1.1)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(1.1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1.1)的特解.差分方程的基本概念1若x0,x1,…,xk
2、－1已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(1.1)的解，即F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(1.1)的平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.差分方程模型一阶常系数线性差分方程xn+1+axn=b,(其中a,b为常数，且a≠-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当
3、a
4、＜1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.差分方程模型二阶常系数线性差分方
5、程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时，它有一特解x*=0；当r≠0，且a+b+1≠0时，它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.差分方程模型①当1,2是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②当1,2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;则差分方程模型③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn
6、=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知，当且仅当特征方程的任一特征根
7、i
8、＜1时,平衡点x*是稳定的.差分方程模型对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当差分方程模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振
9、荡市场经济中的蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点蛛网模型稳定性分析xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0x0P0fg曲线斜率稳定性分析在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致稳定性分析~商品数量减少1单位,价格上涨幅
10、度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf需求曲线变为水平供应曲线变为竖直结果解释－政府干预生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程模型的推广方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定的条件
11、:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件模型的推广用Matlab求解差分方程问题2一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组一、一阶线性常系数差分方程濒危物种的自然演变和人工孵化问题Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为-3.24%和-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。模型建立记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤
