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《高三数学教案：§10.5二项式定理.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§10.5二项式定理一、内容归纳知识精讲：n0n1n1rnrrnn（1）二项式定理：abCnaCnabCnabCnb（nN）rnrr5n55其通项是Tr1Cnab（r=0,1,2,⋯⋯,n），知4求1，如：T6T51CnabrnbrCna()亦可写成：Tr1an0n1n1rrnrrnnnabCaCab1Cab1Cbnnnn（nN）n0n1rnrnn特别地：1xCnxCnxCnxCnx（nN）rC其中，n——二项式系数。而系数是字母前的常数。（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首
2、末两端“等距离”的两项的0n1n12n2knk二项式系数相等，即CnCn,CnCn,CnCn,CnCn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果nrCnCn2Tmaxn1二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：2；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即n1n1rCnCn2Cn2T1T1maxnn1122。01nnnCCC2③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于2即nnn；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相
3、等，即0213n1CnCnCnCn2n22nn3,nN（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：取nn211的展开式中的四项即可。2．重点难点:二项式定理，和二项展开式的性质。3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。rnrrCnab4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，是第r+1项。rnrr②通项是Tr1CnabTr1,a,b,n,r五个元素，只要知道其（r=0,1,2,⋯⋯,n）中含有中四个即可求第五个元素。第1页共6页③注意二项式系数与某一项系数的异同。n(1x)④
4、当n不是很大，
5、x
6、比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。二、问题讨论123n1n例1．（1）Cn3Cn9Cn3Cn等于（）nn4411nnA．4B。34C。3D.3n1n12n2n17C7C7C7（2）若n为奇数，则nnn被9除得的余数是（）A．0B。2C。7D.8123n1n解：（1）设SnCn3Cn9Cn3Cn，于是：12233nn012233nn3Sn3Cn3Cn3Cn3CnCn3Cn3Cn3Cn3Cn1=故选Dn1n12n2n1nn7C7C7C781911（2）nnnn1n1n1n1n
7、9C91C911=nnn1n1n1n1因为n为奇数，所以原式=[9Cn91Cn9]2所以，其余数为7，选Cn1x42x例2．（1）(优化设计P179例1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。31x2x（2）(优化设计P179例2)求的展开式的常数项。25x3x2（3）在的展开式中，求x的系数（即含x的项的系数）nn(n1)解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，2，8，nn(n1)由题意得：2×2=1+8得n=8。163rr14Tr1c8rx设第r+1项为有理项，2，则r
8、是4的倍数，所以r=0，4，8。4351T1x,T5x,T92有理项为8256x。第2页共6页【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。r266r3rr111T1Cx2x2xr16xxx（2）法一：，其展开式的通项为6rr62rrr01Cx226，令2得r3所以，常数项为T42031111x2x2x2x2xxxx法二：解析：=得到常数的情况有：1
9、x
10、x①三个括号中全取-2，得（-2）3②一个括号取，一个括号取，一个括号取-2，11得C3C2(2)=-12，因此
11、常数项为-20。25551541（3）x3x2=1x2x1C5x22C5x1415C52C52x240x含x的项为,即含x的项的系数为240【思维点拨】密切注意通项公式的使用。2374练习：(优化设计P180思考讨论（)1）在(1xxx)(1x)的展开式中，求x的系数。44(x4)（2）求x的展开式中的常数项。345503（3）求(1x)(1x)(1x)⋯(1x)的展开式中x的系数。41x746(1x)(1x)(1x)444C解:（1）原式=1x,展开式中x的系数为(1)611424844(x4x
12、4)(2x)(x4)44444C2(1)1120（2）x=xx，展开式中的常数项为8348513(1x)(1x)1(1x)(1x)(1x)1x（3）方法一：原式=43Cx的系数为51。333343333CCCCCCCC方法二：展开式中x的系数为：345⋯50445⋯504334C5C5C50C51⋯第3页共6页例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋⋯＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，12nnnnAn＝Ca1＋Ca2＋⋯＋Can.用q和n表示AnAnlimnn当3q1时
