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1、数字图像处理武汉理工大学信息学院我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。问题的提出：图像变换,是指将图像从空间(2D平面)变换到变换域(或频率域)的操作,目的是根据图像在变换域的某些性质对其进行处理.这些性质在空间域通常难以获取.第4章图像变换(ImageTransform)4.1连续傅里叶变换4.2离散傅里叶变换4.3快速傅里叶变换4.4傅里叶变换的性质4.5图像傅里叶变换实例4.6其他离散变换一、图象变换的引入
2、1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征]。1．提取图象特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)；（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3．图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。二、用途1807年,傅立叶提出了傅立叶级数的概念,即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠加.1822年,傅立叶又提出了傅立叶变换.它是一种常用的正交变换,在数字图像
3、处理领域应用广泛.4.1连续傅里叶变换（ContinuousFourierTransform）定义:一维傅立叶变换及其反变换4.1连续傅里叶变换（ContinuousFourierTransform）式中,j2=-1.函数f(x)和F(u)被称作一个傅立叶变换对,二者一一对应.若一维实空间上的函数f(x)绝对可积，则函数存在，若F(u)绝对可积，则欧拉公式：这里是实函数，它的傅里叶变换通常是复函数。的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部（4.3）虚部（4.4）振幅（4.5）能量（4.6）相位（4.7）傅里叶变换可
4、以很容易推广到二维的情形。设函数是连续可积的，且可积，则存在如下的傅里叶变换对：（4.8）（4.9）式中是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:傅里叶频谱：（4.10）相位：（4.11）能量谱：（4.12）4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform,简称DFT),是指傅里叶变换在时间域和频率域上都呈离散的形式。将连续傅立叶变换离散化，可得离散傅立叶变换。4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourier
5、Transform）离散序列的一维离散傅里叶变换由下式定义：（4.13）其中，。的傅里叶反变换定义为：（4.14）傅里叶频谱：相位:能量谱4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为：（4.16）式中，。二维离散傅里叶反变换定义为（4.17）4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）式中，式中是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的离散傅里叶谱、能量和相位谱为:傅里叶频谱
6、：相位：能量谱：4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）一般来讲，数字图像是空间域中的连续图像的一种满足人为满意尺度的近似，对图像进行频谱分析，对应地，对数字图像也可以进行频谱分析，有关的分析数据都有相同的物理解释。例4.1一个简单二维函数的中心谱。图4.1（a）显示了在像素尺寸的黑色背景上叠加一个像素尺寸的白色矩形。4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）图4.1（a）4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）（a）（b）图4.
7、1（a）在大小为黑色背景上叠加一个尺寸为的白色矩形的图像，（b）应用了对数变换后显示的中心傅里叶谱I=zeros(512,512);I(246:266,236:276)=1;%改为I(46:66,36:76)=1;subplot(1,2,1);imshow(I);%求原始图像的傅立叶频谱J=fft2(I);%2维离散傅立叶变换F=log(abs(J));J1=fftshift(F);subplot(1,2,2);imshow(J1,[-15]);%fftshift的作用正是让正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对
8、称。因为直接用fft得出的数据与频率不是对应的，fftshift可以纠正过来.符合图像中的矩形尺寸比例。在显示之前,频率谱用对数变换处理以增强灰度级细节。变换中使用的值可以降低整体强度。在本章显示的多数傅里叶频率谱都用对数变换进行了相似的处理。4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTran
