新教材4人教B版高中数学必修第二册.3 指数函数与对数函数的关系 教学设计2.docx

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1、第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系教材通过函数y=2x与y=log2x引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担.考点学习目标核心素养反函数了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系数学抽象指数、对数函数的图像与性质的应用利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题数学抽象、数学运算【教学重点】1、知道对数函数与指数函数互为反函数（a＞0，且a≠1）。【教学难点】1.理解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数，并能求出简单函数的反函数.2.掌握

2、互为反函数的函数图像间的关系及其性质预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？从前面的知识中可以看出，指数函数与对数函数之间有非常密切的联系.例如，当a＞0且a≠1时，有y＝ax⇔x＝logay而且指数函数与对数函数的性质可列表如下.函数指数函数y＝ax对数函数y＝logax定义域R（0，+∞）值域（0，+∞）R单调性0＜a＜1时，为减函数；a＞1时，为增函数由此可以看出，指数函数y＝ax与对数函数y＝logax中，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同.为什

3、么会这样呢？这是因为在上述两个函数中，通过对调其中一个函数的自变量和因变量，可得到另一个函数.一般地，如果在函数y=f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f（x）的反函数.此时，称y=f（x）存在反函数.而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y=f（x）的反函数的表达式，可以通过对调y=f（x）中的x与y，然后从x=f（y）中求出y得到.例如，y=2x是增函数，因此任意给定一个y值，只有唯一的x与之对应，所以y=2x存在反函数，对调y=2x中的x和y得x=2y，解得y＝log2x因此y＝log2x是y=2x的反函数.

4、下图是同一平面直角坐标系内函数y=2x以及它的反函数y＝log2x的图像，不难看出，它们的图像关于直线y=x对称.一般地，函数y=f（x）的反函数记作y=f-1（x）.值得注意的是，y=f（x）的定义域与y=f-1（x）的值域相同，y=的值域与y=f-1(x)的定义域相同，y=f（x）与y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.【典型例题】例1分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，请说明理由；如果存在，写出反函数.（1）x12345f（x）00135（2）x12345g（x）-101-25解：（1）因为f（x）=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此f（x）的反函数不存在.（2）

5、因为对g（x）的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g（x）的反函数g-1（x）存在，而且反函数可以表示如下.x-2-1015g-1（x）41235例2判断f（x）=2x+2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f-1(x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f（x）与f-1(x)的函数图像.解：因为f（x）=2x+2是增函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f（x）存在反函数.令y=2x+2，对调其中的x和y得x=2y+2，解得y=因此f-1(x)=f（x）与f-1(x)的函数图像如下图所示。由反函数的定义可

6、知，如果y=f（x）是单调函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定存在。此时，如果y=f（x）是增函数，则y=f-1(x)也是增函数；如果y=f（x）是减函数，则y=f-1(x)也是减函数。反函数是一个比较抽象的概念，需要学生多加练习，弄清楚其中的含义.