第六章稳定性模型 ppt课件.ppt

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1、第六章稳定性模型一、微分方程稳定性理论简介1、一阶微分方程的平衡点及其稳定性右端不显含自变量t，称为一阶非线性（自治）方程设有微分方程的实根表示微分方程的平衡点（或奇点）它也是自治方程的解（奇解）代数方程不求x(t),判断x0稳定性的方法称为直接法如果存在某个邻域，使自治方程的解x(t)，从这个邻域内的某个x出发，满足称平衡点x0是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定），否则x0是不稳定的（不渐近稳定）上述这种判断x0稳定性的方法称为间接法方程（1）近似为所谓直接法将方程中的在点作一阶Taylor展开，只取一次项（4）称为（1）的近似方程，也是

2、方程（4）的平衡点。两个方程在点都是稳定的两个方程在点都是不稳定的关于点稳定性有以下的结论2、二阶方程的平衡点及其稳定性右端不显含t，是自治方程。二阶方程可以用两个一阶方程表示为（5）代数方程组的实根称为方程（5）的平衡点，记作（6）如果存在某个邻域，使方程（5）的解，从这个邻域内的某点出发，满足则称平衡点p0是稳定的（渐近稳定），否则p0是不稳定的（不渐近稳定）系数矩阵记作（8）为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程为了研究（8）的唯一平衡点P0（0，0）的稳定性，假设A的行列式不等于0。（0，0）点的稳定性由（

3、8）的特征根决定，（8）的特征方程为（9）方程（8）的一般解具有形式所以当特征根为负数或有负实部时（0，0）是稳定平衡点；而当特征根为正数或有正实部时是不稳定平衡点；特征根不可能是0。微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的p,q取值决定（见表）稳定结点稳定不稳定结点不稳定鞍点不稳定稳定退化结点稳定不稳定退化结点不稳定稳定焦点稳定不稳定焦点不稳定中心不稳定由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性一览表以上是对线性方程的平衡点（0，0）稳定性的结论，对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡

4、点的稳定性。在该点将方程右端作Taylor展开，得近似线性方程（10）系数矩阵记作特征方程系数为结论：若方程（10）的特征根不为零或实部不为零，则P0点对于方程（5）的稳定性与对于方程（10）的稳定性相同。由p，q决定二、稳定性模型1、对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定；而不是每个瞬时的性态2、不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性；（一）捕鱼业的持续收获模型对于象渔业、林业等这样的再生资源，一定要注意适度开发，不能为了一时的高产去“竭泽而渔”，应该在持续稳产的前提下追

5、求产量或效益的最优化1、背景2、问题及分析1）、在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞量使产量最大或效益最佳。2）、如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。r表示固有增长率,x(t)表示t时刻渔场鱼量N表示环境允许的最大鱼量E表示捕捞强度，（即单位时间的捕捞率）3、符号说明4、模型假设1）、无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律2）、单位时间捕捞量（产量）与渔场鱼量成正比，即5、模型捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t)，只需知道x(t)稳定的条件即可稳定性判断，由于x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯稳定

6、不稳定不稳定稳定产量模型（图解法）在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大P的横坐标x0表示平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h表示产量f与h交点P稳定产量最大y0y=h(x)=ExxNy=f(x)y=rxPx0hP*y=E*xhmx0*=N/2控制渔场鱼量为最大鱼量的一半单位时间利润（效益模型）效益模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大。假设1、鱼销售价格p；2、单位捕捞强度费用c；收入T=ph(x)=pEx支出S=cE稳定平衡点求E使R(E)最大最大利润下的渔场稳定鱼量及单位时间的持续

7、产量捕捞过度2、盲目捕捞（开放式捕捞）只求利润R(E)>01、计划捕捞（封闭式捕捞）追求利润R(E)最大EsS(E)T(E)0rE即R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量ERE*（二）、军备竞赛模型1、描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程2、解释(预测)双方军备竞赛的结局目的假设1）、由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）、由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）、由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。4）、1）2）的作用为线性；3）的作用为常数建模x(t

8、)表示甲方军备数量，y(t)表示乙方军备数量,表示本方经济实力的制约；k,l表示对方军备数量的刺激；g,h表示本方军备竞赛的潜力。平衡点模型：平衡点(x0,y0)稳定的条件系数矩阵稳定性判