微分方程的稳定性模型ppt课件.ppt

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1、在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。下面，我们将研究几个与稳定性有关的问题。稳定性模型的特点对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。目录6.1捕鱼业的持续收获6.2军备竞赛6.3种群的相互竞争6.4种群的相互依存6.5种群的弱

2、肉强食6.1捕鱼业的持续收获再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。背景资源分为再生资源（林业、渔业等）和非再生资源（矿业等）。考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。希望建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大？问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。实际问题产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律单位时间捕捞

3、量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。一阶常微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点(或奇点)。它也是方程(1)的解.设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平

4、衡点一阶微分非线性方程不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法由于讨论方程(1)的稳定性时，可用来代替.即(1)的近似线性方程易知x0也是方程(2)的平衡点.(2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率平衡点分别对应微分方程的两个特殊解。产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强

5、度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cEEsS(E)T(E)0rE捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E)最大开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度ERE*令=06.2军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设1）2

6、）的作用为线性；3）的作用为常数目的建模军备竞赛的结局常微分方程组的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。t时的x(t)，y(t)线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点P0(0,0)稳定平衡点P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p>0且q>0p<0或q<

7、0平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型军备竞赛模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。平衡点2)若g=h=0,则x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。模型,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。3）若g,h不