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1、第7章有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法7.1引言7.2线性相位FIR滤波器的特点7.3用窗函数法设计FIR滤波器7.4用频率采样法设计FIR滤波器7.5FIR滤波器和IIR滤波器的比较7.1引言对应的系统函数:因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示比较①、③得：FIR数字滤波器的差分方程描述:①③②FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：优点：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定）
2、，无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；（5）无反馈运算，运算误差小。缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。7.2线性相位FIR滤波器的特点如果FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是实数序列，而且满足偶对称或奇对称的条件，即则滤波器就具有严格的线性相位特点。一、线性相位特性(1)h(n)偶对称的情况:h(n)=h(N-1-n)0≤n≤N-1其系统函数为：将m=N-1-n
3、代入即上式进一步写成：滤波器的频率响应为可以看到，上式的Σ以内全部是标量，如果将频率响应用相位函数θ(ω)及幅度函数H(ω)表示那么有：幅度函数H(ω)是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是ω的偶对称函数和周期函数;而
4、H(ejω)
5、取值大于等于零,两者在某些ω值上相位相差π。相位函数θ(ω)具有严格的线性相位，如图7-3所示。图7-3.h(n)偶对称时的线性相位特性数字滤波器的群延迟τ(ω)定义为式中，grd(group delay)为群延迟函数。由上式可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时，它等于单位脉冲响
6、应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。其系统函数为因此H(z)=-z-(N-1)H(z-1)h(n)=-h(N-1-n)0≤n≤N-1h(n)奇对称的情况:同样可以改写成其频率响应为所以有:幅度函数H(ω)可以包括正值、负值和零，而且是ω的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位，又包括π/2的相移，如图7-4所示。可以看出，当h(n)为奇对称时，FIR滤波器不仅有(N-1)/2个采样的延时，还产生一个90°的相移。这种使所有频率的相移皆为90°的网络，称为９０°移相器，或称正交变换网
7、络。它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的理论和实际意义。当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络。图7-4h(n)奇对称时的90o线性相位特性二、幅度响应特性1.第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数h(n)偶对称的幅度函数式为：可以看出，不但h(n)对于(N-1)/2呈偶对称，而且也对(N-1)/2呈偶对称，即:将Σ内两两相等的项合并，幅度函数就可以表示为令，则上式可改写为：可表示为式中:n=1,2,3,…,(N-1)/2由于cos(ωn)项对于ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度函数H(ω)对于ω=
8、0,π，2π也呈偶对称。2.第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数令，代入上式可得因此由于N为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得式中:n=1,2,3,…,N/2当ω=π时，，余弦项对ω=π呈奇对称，因此H(π)=0，即H(z)在z=ejπ=-1处必然有一个零点，而且H(ω)对ω=π呈奇对称。当ω=0或2π时，或-1，余弦项对ω=0,2π为偶对称，幅度函数H(ω)对于ω=0,2π也呈偶对称。如果数字滤波器在ω=π处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。3.第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数h(n)奇对称的幅度
9、函数式如下：由于h(n)对于(N-1)/2呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-1)/2时，因此，,即h(n)奇对称时，中间项一定为零。此外，式中，也对(N-1)/2呈奇对称。因此，在Σ中第n项和第(N-1-n)项是相等的，将这两两相等的项合并，即令，则上式可改写为即式中:n=1,2,3,…,(N-1)/2由于sin(ωn)在ω=0,π,2π处都为零，并对这些点呈奇对称，因此幅度函数H(ω)在ω=0,π,2π处为零，即H(z)在z=±1上都有零点，且H(ω)对于ω=0,π,2π也呈奇对称。如果数字滤波器在ω=0,π,2π处不为零，例如
10、低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计，除非不考虑这些频率点上的值。
