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1、机械振动基础(续三)1前面,我们用特征方程式及特征矩阵方程求解多自由度的故有频率和相应的主振型(特征向量).可行但不很方便,当自由度增多,则计算量急剧增大.下面,我们介绍一种比较方便的近似方法—矩阵迭代法,它特别适合于电算.§4–1确定系统固有频率与主振型的矩阵迭代法对于两个自由度的振动,特征矩阵方程为:一般可写成由矩阵运算的性质也可写成两边左乘(I)2(I)如果[K]非奇异则有:或写成:(II)(I)式称为刚度方程式,(II)式称为柔度方程式.迭代具体过程如下令[H]=[D][M]并假定一主振型{A}0……用(II)式右边式
2、进行迭代:3当迭代终止则对某一频率nj有所以可得:对应的振型向量……理论可以证明:对于以柔度矩阵方程进行迭代,将收敛于系统的第一固有频率和主振型的最低阶;如果以刚度矩阵方程进行迭代,将收敛于系统的最高固有频率和主振型的最高阶.在工程实际中,通常更需要了解的是系统的低阶或较低几阶的故有频率和相应的主振型,所以一般多采用柔度矩阵方程式进行迭代运算.4例1.一高层建筑,其横向振动可简化成一个四质点的三自由度体系.试用迭代法求系统的一阶固有频率及主振型向量.已知:首先假定一振型,一般讲可任意假定,但如果所设振型愈是接近实际,则在迭代
3、的过程中收敛的愈快.如何假定,需要经验和理论分析,一般可根据系统的变形形状来假定.设5其中其中6此时,振型值已收敛,迭代终止.由得7由得8例2.如图所示振系,试用迭代法求其一阶固有频率及主振型已知k1=k2=k3=k,m1=m2=m3=m.首先求质量矩阵和刚度矩阵因为求低频及相应的振型向量,故应采用柔度矩阵方程式[公式(II)]9初取10由上可知振型值趋于稳定,迭代终止.由得11例3.外伸梁上有集中质量m1=5m,m2=m,梁的刚度为EI,自重不计.试用迭代法求其最低固有频率和主振型.初取1213由得14例4.一根带两集中质量
4、m1=m2=m的无重钢梁,尺寸如图示.现在只考虑与弯曲变形有关的微小位移,求其振动固有频率和振型.EI=常数.解:建立坐标如图示dij:在坐标xj处单位力(=1)作用,而其他坐标处不受力,在xi处产生的位移.位移形式的振动微分方程为自由振动的位移方程一般形式是:15频率方程:特征向量方程:16初取下面用迭代法求第一频率和对应的振型由得17上述的迭代结果收敛于最低阶的主振型.如果所设定的第一阶主振型不存在,则迭代的结果将收敛于第二阶主振型.根据这样的规律,我们将采用下述的方法来求第二阶、第三阶,甚至更高阶的主振型及对应的固有频率
5、.假定用矩阵迭代法已求得系统的第一阶固有频率n1及对应的主振型现在,进一步求第二阶固有频率n2及主振型.一般而言,对于任选的初始振型{A}0,都可以表示为各阶主振型向量的线性组合.如果第一阶主振型已求出将上式两边左乘由振型向量的加权正交性可有:上式中,如果c1=0,应有:(I)如果使所设振型{A}0迭代后收敛于第二阶主振型,则(1)式中应令c1=0.18(设[M]为对角阵)具体表示为:由上式可得:此式表达在第一振型向量求得后为求第二振型而假设的初振型{A}0.上式用矩阵可表示成:19[S]称为“滤频矩阵”,或“清型矩阵”.
6、表示第一阶振型已在所设的初始振型中滤掉.这里,20此时假设的初振型{A}0已通过滤频矩阵将第一阶振型滤掉,再迭代收敛的振型便是第二阶振型(用柔度方程)于是应有:对于第三阶振型和频率,考查所设的任意初振型(I)应使c1=c2=0即是展开后为:对于三维振动:21对于三维振动:22例5.一弹簧—质量系统中,m1=4m,m2=2m,m3=m,k1=3k,k2=k3=k,试建立系统的柔度矩阵,并通过迭代法求其全部的固有频率和主振型.先假定一初始振型23由得为求第二阶主振型及固有频率,使用滤频矩阵有24由并设2526………………2728设
7、第三初振型…………29§4–2确定系统固有频率的瑞雷(Rayleigh)法如果已知系统的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M],并设定系统的第j阶振型向量为,则对于作简谐运动的多自由度系统,其动能T和势能V的一般表达式为:当系统作第j阶主振动时,于是,由机械能守恒:(I)30(I)自由振动的位移方程一般形式是:下面我们考虑用位移方程推导类似(I)式的公式当系统作第j阶主振动时,将上式两边左乘31根据假设的第j阶的振型,可知:上式可有:(II)1.在用(I)式和(II)式计算固有频率时,必须假定振型,如果假定的振型与实际相差较大,则所得
8、的固有频率就相差很大.用(I)式计算尤其如此.2.由于高阶频率下的振型很难假定准确,故此法比较适合计算基频的频率.3.计算基频(第一阶固有频率)时,(II)式比(I)式的精确度高.即使假定的振型不准确,用(II)式计算也可得到较满意的结果.所以,(II)式较(I)常用.32例
