2、E[f]称为积分的截断误差，值称为面积节点，称为权。积分公式的数值精度定义7.2面积公式的精度为正整数n，n使得对所有次数i≤n的多项式Pi(x)，都满足E[Pi]=0，而对某些次数为n+1的多项式Pn+1(x)有E[Pn+1]≠0通过研究f(x)为多项式时的情形可以预测E[Pi]的形式。考虑任意i次多项式Pi(x)=aixi+ai-1xi-1+…+a1x+a0，如果i≤n，则对所有x，有Pi(n+1)(x)≡0，并且对所有的x，式成立故截断误差的一般形式为E[f]=Kf(n+1)(c)，其中K是一个合理选择的常数，n为精度注意：积分公式的数值精度定义没有指定积分区间基于多项式插值的面积公
3、式通过M+1个等距点存在唯一的次数小于等于M的多项式PM(x)。当用该多项式来近似[a,b]上的f(x)时，PM(x)的积分就近似等于f(x)的积分，这类公式称为牛顿－科特斯公式。当使用采样点x0=a和xM=b时，称为闭型牛顿－科特斯公式闭型牛顿－科特斯面积公式定理7.1设xk=x0+kh为等距节点，且fk=f(xk)。前4个闭型N－C面积公式为（梯形公式）（辛普森公式）（辛普森3/8公式）（布尔公式）利用N－C公式求数值积分例7.1函数f(x)=1+e-xsin(4x)，等距面积节点为x0=0.0,x1=0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0,对应的函数值为f0=1.00000
4、,f1=1.55152,f2=0.72159,f3=0.93765,f4=1.13390,h=0.5[x0,x1]上y=P1(x)的梯形积分公式[x0,x4]上y=P4(x)的布尔积分公式[x0,x3]上y=P3(x)的辛普森3/8积分公式[x0,x2]上y=P2(x)的辛普森积分公式N－C公式的精度推论7.1设f(x)充分可微，则N－C面积公式的E[f]包含一个高阶的导数项。梯形公式的精度为n=1，如果f∈C2[a,b]，则辛普森公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则辛普森3/8公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则布尔公式的精度为n=5，如果f∈C6[a,b]，则步长的
5、选择因为各个公式所需节点个数不同，如果固定求积区间[a,b]的端点，则对不同公式要采用不同的步长。梯形公式、辛普森公式、辛普森3/8公式和布尔公式的步长分别为h=b-a,h=(b-a)/2,h=(b-a)/3和h=(b-a)/4例7.2分别将区间[0,1]作1、2、3、4等分例7.2对于梯形公式，h=1对于辛普森公式，h=1/2对于布尔公式，h=1/4对于辛普森3/8公式，h=1/3[0,1]上y=P1(x)的梯形积分公式[0,1]上y=P4(x)的布尔积分公式[0,1]上y=P3(x)的辛普森3/8积分公式[0,1]上y=P2(x)的辛普森积分公式例7.2该定积分的真解为公式的比较为对面
6、积公式进行公平的比较，必须在每种方法中进行相同次数的函数求值对上例中的梯形公式、辛普森公式和布尔公式，每种方法都要在给定区间[0,1]上进行5次函数求值。对梯形公式而言，则要在4个子区间[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3]和[x3,x4]上使用，称之为组合梯形公式；同理，在两个子区间[x0,x2]和[x2,x4]上应用辛普森公式，称之为组合辛普森公式组合公式例7.3在区间[0,1]上取相同的步长h=1/4，进行5次函数求值组合梯形公式组合辛普森公式例7.3组合梯形公式组合辛普森公式布尔公式的结果该定积分的真解可见，依然是布尔公式的结果最接近真实值组合梯形公式组合辛普森公式验证面积
7、公式的精度面积公式的定义中没指定积分区间一切次数i≤n的多项式Pi(x)都可用函数族{1,x,x2,x3,…,xn}的线性组合来表示可以在任意容易计算定积分的区间上计算各个次数i不高于n的幂函数xi的定积分，并与面积公式求得的结果相比较，从而确定面积公式的精度例7.4组合面积公式理论数学中，曲线y=f(x)在区间[a,b]上的定积分的几何意义是该区间中曲线下的面积求定积分的思想：分割－求和－求极限组合面积公式：求区间[a
