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1、.第一讲矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的.一矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法...页脚..定义1由mn个数字aij（i1,2,L,m，j1
2、,2,L,n）排成的m行n列的数表，称为一个..页脚..a11a12La1na21a22La2nMMOMam1am2Lamnm行n列矩阵，简称为mn型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即A位于矩阵A的第i行第j列的数字aij，称为A的(i,j)元素，简称(i,j)元.以aij为(i,j)元的矩阵可简..页脚..记作(aij).mn型矩阵A也记作Amn或A.mn时，nn型矩阵A也称为n阶矩阵，记作mnAn...页脚..两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩
3、阵.两个矩阵A与B是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A与B相等，记作AB.有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如零矩阵O，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的.单位矩阵E（也记作I），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.1..页脚..对角矩阵diag1,2,L,n=（与行列式中一样，不写出的元素就是0）.2O..页脚..n下面，我们来复习矩阵的10个运算方法...页脚..定义2设两个矩阵A(aij)mn和B(bij)st，..页脚
4、..①A与B能相加、减的条件是：A与B同型，即ms且nt.②A与B相加的和记作AB，A与B相减的差记作AB.运算方法规定为..页脚....页脚..a11a21ABb11b21a12a22b12Lb22La1na2nb1nb2n..页脚..MMOM..页脚..am1bm1am2bm2Lamnbmn..页脚..a11b11a12b12La1nb1na21b21a22b22La2nb2nABMMOM..页脚..am1bm1am2bm2Lamnbmn..页脚..根据定义，矩阵的加减就是
5、对应位置上数字的加减.例如233423345757105170671233132(3)2543244234212112211213..页脚..定义3数k与矩阵A运算方法规定为例如(aij)mn相乘的积记作kA(ijkAkamnAk)...页脚..23452535410152053105(3)51501550..页脚..定义4设两个矩阵A(aij)mn和B(bij)st，..页脚..①A与B能相乘的条件是：ns.②A与B相乘的积记作AB...页脚..运算方法规定为AB的(i,j)元ai1b1ja
6、i2b2jLainbnj..页脚..即A的第i行各元素与B的第j列对应元素的乘积之和为AB的(i,j)元...页脚..312372232例如147..页脚..233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)1415441..页脚....页脚..定义5设矩阵A为mn型，①A能乘方的条件是：mn即A为方阵.k②k为非负整数，A的k次幂记作A.运算方法规定为AkE,k0A,k1，..页脚..Ak1A,k2例如23322323313131232323313)13113323310313
7、536361(Ta11a12La1na11a21Lam1a21a22La2n时，Aa12a22Lam2MMOMMMOMam1am2Lamna1na2nLamn定义6将矩阵A的行与列互换，得到的矩阵，称为A的转置.记作A或A，即A..页脚..341341A200时，A2002(1)2111111例如A341253时，A314253定义7设矩阵A①A可取行列式的条件是：(aij)mn，mn即A为方阵.②A的行列式即例如Aaij.141116注：矩阵A与行列式A是完全不同的对象.矩阵A是一数表，不是数，而行列式A
8、就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线...页脚..定义8设矩阵A(aij)mn，..页脚..①A能取伴随的条件是：A为方阵且mn2.*②A的伴随记作A，并称为A的伴随矩阵.运算方法规定为..页脚..A11A*A12A21LA22LAn1An2..页脚..MMOM..页脚..A1nA2nLAnn..页脚..即在A中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*abdbcdc
