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1、2.2 椭 圆2.2.1椭圆及其标准方程问题引航1.椭圆的定义是什么?如何求椭圆的标准方程?2.椭圆的标准方程是什么?它具有什么特征?1.椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_____(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹，叫做椭圆.(2)焦点:这两个叫做定点F1,F2叫做椭圆的焦点.(3)焦距:两焦点间的距离
4、F1F2
5、叫做椭圆的焦距.(4)几何表示:
6、MF1
7、+
8、MF2
9、=___(常数)且2a__
10、F1F2
11、.常数2a＞焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程________________________________图 形焦点坐标_________________
12、_________a,b,c的关系________2.椭圆的标准方程(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2=b2+c2注意：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同，从方程看哪个分母大，焦点就在哪个轴上．1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.( )(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.()(3)椭圆的特殊形式是圆.( )【解析】(1)正确.无论在哪种标准方程中,一定都有a2=b2+c2.(2)错误.只有常数大于
13、F1F2
14、时,点的集合才是椭圆.(3)错误.椭圆与圆
15、的概念不同,没有特殊情况.答案:(1)√ (2)× (3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为.(2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为.(3)椭圆的方程为则a=,b=,c=.【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16,所以椭圆的方程为答案：2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为.(2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为.(3)椭圆的方程为则a=,b=,c=.(2)由4x2+9y2=1，得所以所以焦点坐标为答案：2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a=5
16、,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为.(2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为.(3)椭圆的方程为则a=,b=,c=.(3)由所以a2=9,b2=4,c2=5.所以a=3,b=2,c=答案：32知识点1椭圆的定义1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.2.椭圆定义的两个应用(1)若
17、MF1
18、+
19、MF2
20、=2a(2a>
21、F1F2
22、),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则
23、MF1
24、+
25、MF
26、2
27、=2a.【要点探究】【知识拓展】椭圆的焦点三角形设M为椭圆上任意一点(不在x轴上).F1,F2为焦点，则△MF1F2为椭圆的焦点三角形.【微思考】在椭圆的定义中,动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a)且2a>
28、F1F2
29、,若2a=
30、F1F2
31、,则M的轨迹是什么?若2a<
32、F1F2
33、,则M的轨迹是什么?提示:当2a=
34、F1F2
35、时,点M的轨迹是线段F1F2;当2a＜
36、F1F2
37、时,点M的轨迹不存在.【即时练】1.椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若
38、PF1
39、=4，则
40、PF2
41、=________.2.已知椭圆的两焦点为F1,F2,弦AB过点F1,求△ABF2的
42、周长。【解析】1.由椭圆的定义知
43、PF1
44、+
45、PF2
46、=6,所以
47、PF2
48、=6-
49、PF1
50、=6-4=2.答案:22.由椭圆的定义知2a=10,△ABF2的周长为
51、AB
52、+
53、AF2
54、+
55、BF2
56、=
57、AF1
58、+
59、AF2
60、+
61、BF1
62、+
63、BF2
64、=4a=20.答案:20知识点2椭圆的标准方程对椭圆标准方程的三点认识(1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上.(2)标准方程的代数特征:方程右边为1，左边是关于的平方和，并且分母为不相等的正值.(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都是正
65、数)恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2.(如图所示)【要点探究】【微思考】(1)在椭圆的标准方程中a＞b＞c一定成立吗?提示:不一定,只要a＞b,a＞c即可,b,c大小关系不定.(2)根据椭圆方程,如何确定焦点位置?提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.【即时练】椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为,焦距为_______.【解析】把方程化为标准式:可知焦点在y轴
