2.2.1 椭圆及其标准方程 课件2

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1、高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程启动思维1．在圆柱形玻璃杯中盛半杯水，当杯体直立时，水面的边界是一个圆；当杯体倾斜一定角度时(水面与杯壁相交)，水面的边界就会变成另一种曲线，这种曲线将会给我们椭圆的直观形象．这一现象反映在数学上就是如果用一个与圆柱体轴线斜交的平面截这个圆柱，那么平面与这个圆柱侧面的交线就是椭圆，椭圆究竟是什么样的点的轨迹呢？启动思维2．将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是什么曲线，并思考：(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定的还是运动的？(2

2、)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？启动思维走进教材1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的(大于

3、F1F2

4、)的点的轨迹叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距．距离的和等于常数这两个定点两焦点间的距离走进教材2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点a、b、c的关系(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)c2＝a2－b2(a>b>0)(a>b>0)知识回顾平面内与两个定点F1，F2的____________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两

5、个定点叫做椭圆的___________，_________________叫做椭圆的焦距．两焦点间距离距离的和等于常数(大于

6、F1F2

7、)焦点1．椭圆的定义知识回顾2.椭圆的方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点坐标a、b、c的关系(a>b>0)(a>b>0)(-c,0)、(c,0)(0,-c)、(0,c)c2＝a2-b2典例导航题型一：利用椭圆的定义求轨迹方程已知B，C是两个定点，

8、BC

9、＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴由已知

10、AB

11、＋

12、AC

13、＋

14、BC

15、＝16，又∵

16、BC

17、＝6，∴

18、AB

19、＋

20、AC

21、

22、＝10即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，>

23、BC

24、＝6【解析】xyOABC形成轨迹的几何条件定值典例导航由已知2c＝6,2a＝10.∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16.又∵A、B、C三点不能共线∴点A的轨迹方程是(y≠0)．变式训练求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.解：圆的方程化为(x+3)2+y2=102,则圆心C1(-3,0),半径R=10.设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r,依题意有

25、PC

26、=r，

27、CC1

28、=R-r消去r得R-

29、PC

30、=

31、CC1

32、⇒

33、PC

34、+

35、CC1

36、=R,即

37、PC

38、+

39、CC1

40、=10.又

41、P(3,0),C1(-3,0),且

42、PC1

43、=6<10.可见C点是以P,C1为两焦点的椭圆,且c=3,2a=10,∴a=5,从而b=4,故所求的动圆圆心的轨迹方程为.化为动点满足的几何条件典例导航题型二：与椭圆有关的轨迹问题已知圆x2＋y2＝9，从圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且，求点M的轨迹．设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以.将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1，∴点M的轨迹是椭圆．【解析】代入法变式训练若将“点M在PP′上，

44、并且”改为“点M在直线PP′上，并且(λ>0)”，则M点的轨迹是什么？解：当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当λ＝1时，点M的轨迹是圆；当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．典例导航题型三：椭圆中的焦点三角形问题已知椭圆的方程为，若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．由已知a＝2，b＝，所以c＝1，

45、F1F2

46、＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得

47、PF2

48、2＝

49、PF1

50、2＋

51、F1F2

52、2－2

53、PF1

54、

55、F1F2

56、·cos120°，即

57、PF2

58、2＝

59、PF1

60、2＋4＋2

61、PF1

62、①【解析】焦点三角形的边角关系典例导

63、航由椭圆定义

64、PF1

65、+

66、PF2

67、=4即

68、PF2

69、=4-

70、PF1

71、②②代入①，解得

72、PF1

73、=∴S==即△PF1F2的面积是.变式训练已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．

74、PF1

75、＋

76、PF2

77、＝2a

78、F1F2

79、＝2c∠F1PF2＝60°求

80、PF1

81、·

82、PF2

83、变式训练解：由椭圆方程知，a＝2，b＝，∴c＝1.又∵P在椭圆上，∴

84、PF1

85、＋

86、PF2

87、＝2a＝4①由余弦定理知：

88、PF1

89、2＋

90、PF2

91、2－2

92、PF1

93、·

94、PF2

95、·cos60°＝

96、F1F2

97、2＝(2c)2＝4②①式两边平方，得

98、PF1

99、2＋

100、PF2

101、2＋