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1、2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点）2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）实验操作(1)取一条定长的细绳；(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧
2、绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.探究点1椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎样的大小关系？结合实验及上面的问题，你能给椭圆下一个定义吗？我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于
3、F1F2
4、）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离
5、F1F2
6、叫做椭圆的焦距.椭圆定义：
7、MF1
8、+
9、MF2
10、＞
11、F
12、1F2
13、椭圆
14、MF1
15、+
16、MF2
17、=
18、F1F2
19、线段
20、MF1
21、+
22、MF2
23、＜
24、F1F2
25、不存在思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？【总结提升】在知道了椭圆的定义及一些基本的性质之后，我们怎样用方程来表示呢？探究点2椭圆的标准方程思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？（1）建系设点（2）写出点集（3）列出方程（4）化简方程（5）检验结合椭圆的定义你能求出椭圆的方程吗？第一步：如何建立适当的坐标系呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM建立坐标系的原则
26、是：对称，简洁设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于2a(2a>2c>0).请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2MOy由椭圆的定义得因为移项，再
27、平方整理得两边再平方，得它表示焦点在y轴上的椭圆.它表示焦点在x轴上的椭圆.1oFyx2FM12yoFFMx（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上;（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.思考：椭圆的标准方程有哪些特征呢？【总结提升】例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知待定系数法又因为,所以因
28、此,所求椭圆的标准方程为所以能用其他方法求它的方程吗？另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为:又∵焦点的坐标为【变式练习】已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程.解：设椭圆的标准方程为则有解得所以，所求椭圆的标准方程为.注意这种设法适用的情况xyODMP例2如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则因为点P（x0,y0）在
29、圆．．相关点法①把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以点M的轨迹是一个椭圆.从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？【变式练习】已知圆，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段，点M在上,并且，则点M的轨迹方程为.例3如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.yAxMBO解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为1.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，
30、过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为（）A.10B.20C.30D.40ByoF1F2MxN解题关键：涉及椭圆上的点到两个焦点的距离时，优先考虑利用椭圆的定义解题。2.椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A.5B.3C.5或3D.8C解题关键：当椭圆的焦点不确定时，要分焦点在x轴和y轴两种情况讨论。C4.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦
