第15课时 函数的单调性（二）.doc

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1、第15课时函数的单调性（二）【学习目标】1．使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；2．掌握增(减)函数在比较大小、解不等式、求函数最值方面的应用．【课前导学】（I）复习回顾1．函数单调性的概念；2．函数单调性的判定．（II）问题情境通过观察二次函数和的最高点和最低点引出函数最值的概念．【课堂活动】一．建构数学：1．函数最大值与最小值的含义一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值（maximumvalue）.思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimumvalue

2、）的定义吗？2．二次函数在给定区间上的最值对二次函数来说，若给定区间是，则当时，函数有最小值是，当时，函数有最大值是；若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值．二．应用数学：例1求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．【思路分析】先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值．【变式】若区间为呢？例2已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)

3、y),∴f(1)=0∵f(x)是R+上的减函数例4如果二次函数f(x)=x-(a-1)x+5在区间上是单调增函数，求f(2)的取值范围．解：f(x)是开口向上的抛物线且f(x)在区间上是单调增函数，f(2)=4-2(a-1)+5=11-2a例5已知函数y=f(x)在R上是增函数，求证：若y=g(x)在(a,b)上是增函数，则函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．证明：设u=g(x),任取a

4、=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．【解后反思】研究复合函数的单调性应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成,然后根据“同增异减”法则作出判断．第5页内层函数u=g(x)外层函数y=f(u)复合函数y=f[g(x)]增增增增减减减增减减减增例6已知f(x)=x+x(x∈R)．1)判断f(x)在R上的单调性，并证明；2)求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个．解1)设x

5、所以f(x)≠f(x)，这与f(x)=f(a)=f(x)矛盾．所以满足f(x)=a的实数x至多只有一个．【解后反思】“至多、至少”类、否定类命题常用反证法证明！三．理解数学：1．设f(x),g(x)都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题的序号是②③．①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增；③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减；④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减．2．函数y=f(x)在

6、R上单调递增，且f(m)>f(1-m),则实数m的取值范围是．3．函数y=3x-ax+5在[-1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是_(-∞,-6]．4．函数的最大值为　　　　　.5．求函数在下列各区间上的最值：第5页（1）（2）[1，4]（3）（4）（5）【课后提升】1．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系是　　　　小于等于　　．2．判断函数f(x)=-x在定义域内单调性．解：函数定义域为(-∞,+∞),当x≤0时,x2单调递减，也单调递减,同时-x也单调递减,因此f(x)单调递减当x≥0时,f(x)=单调

7、递减；总之，f(x)↓练习：判断下列函数的单调性⑴f(x)=⑵y=x∈（0，+∞）（答⑴↓；⑵↑）对于g(x)=可以看作y=及t=x2+x的复合函数，这样需要知道y=f[g(x)]随y=f(u)及u-g(x)的变化情况，有：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗【解后反思】两个函数的复合函数，在具有相同单调性时，其复合函数为增函数；具有不同单调性时，复合函数为减函数（简称“同增异减”）.3．求函数f(x)=的单调区间．解:原函数是y=1/t及t=x2+x的复合对于函数y=1/t在t∈(0,+∞)及t∈(-∞,0)上都单调减，而t<0等价于x2+x<0

8、即-1