第4章定积分及其应用ppt课件.ppt

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1、大学数学基础教程制作单位：成都医学院第4章定积分及其应用主要内容:一、定积分的概念与性质二、微积分学基本定理三、定积分的计算四、定积分在几何中的应用五、定积分在其他方面的应用六、广义积分一、定积分的概念与性质S=S1S2面积S=？S1S2=？引例1求曲边梯形的面积曲边梯形：由三条直线段（其中二条平行且与第三条垂直（底边））和一条曲线段（称之为曲边，且与二平行线段有且仅有一个交点）所围成的图形，称之为曲边梯形。如左图abBA（一）两个引例引例1求曲边梯形的面积宽长矩形面积×=引例1求曲边梯形的面积Ⅰ分割（化整为零）引例1求曲边梯形的面积Ⅱ取近似(不变代变)引例1求曲边梯形的面积Ⅲ求和(积零为

2、整)引例1求曲边梯形的面积Ⅳ取极限(无限逼近)分割取近似求和取极限引例1求曲边梯形的面积分割取近似求和取极限引例1求曲边梯形的面积引例2变速直线运动的路程基本思想：引例2变速直线运动的路程引例2变速直线运动的路程引例2变速直线运动的路程综上二例:分割(化整为零)取近似(不变代变)求和(积零为整)取极限(无限逼近)面积:路程:1、定义（二）定积分的定义其中：：积分和：积分区间：积分下限，：积分上限：积分变量：被积表达式：积分号★注意：1）极限存在时，定积分为一个确定的数，仅与被积函数与积分区间有关，与字母的选取无关.即：2）闭区间是被积函数的定义区间.面积:路程:引例1：引例2：S定理4.1

3、：定理4.2：2、可积条件3、几何意义例1利用定积分的几何意义,求的值.解：定积分在几何上表示以原点为圆心、半径为1的四分之一圆的面积(如下图的阴影部分)，所以规定：性质1性质2性质34、定积分的性质性质5推论1推论2性质4如：性质6（估值定理）证明：性质7（定积分中值定理）任何一个曲边梯形的面积，总有一个与它是相同底的矩形与之面积相等．（如下图）几何上积分中值定理表示：二、微积分学基本定理（一）积分上限函数及其导数积分上限函数具有以下性质：该定理说明：更进一步地：证明：利用定积分性质、变上限函数性质以及复合函数求导法则证明.解：当极限表达式是型不定式，用罗彼塔法则，得：例2证：在内单调增

4、加．例3★注意：例4设，求解：设，由复合函数的求导法则和定理4.3知例5设，求解：令由复合函数的求导法则，定积分的性质和定理4.3有常记为：方法：（二）牛顿—莱布尼兹公式解：例7解：例8解：例6解：例9三、定积分的计算方法由牛顿—莱布尼兹公式可知，计算定积分的问题转化为求不定积分的问题.上一章学习了不定积分的换元、分部积分法，相应地，定积分也有换元、分部积分法.1、换元积分法★注意：例10解：例11求解：设，则，于是当时，时，解：换元换限，不换元则不换限例12例13计算解：例14计算解：由于在上，，在上，，所以原式★注意：如果忽略在上为负，而按照来计算，将导致错误结果.证明：例15续此结论

5、广泛应用于以后的计算中。2、定积分的分部积分法求例16解：令，则于是，例17解：解：例18四、定积分在几何中的应用对于定积分的应用，关键在于微元法。那么什么是微元法呢？简单地说，就是怎样把一个所求量表示成定积分的分析方法。回顾本章第一节中讨论的引例：1、微元法取极限分割取近似求和步骤：为了便于应用，取消这里的下标i,同时事实上，即：可见，步骤：例19法12、直角坐标系下平面图形的面积法2法1，如图例20法2，如图由于所求面积具有对称性，所以选取第一象限进行计算．解：例21一般地，求图形的面积通常有以下各种情形：方法：上—下Ⅰ方法：右—左Ⅱ须拆分成两部分或多部分进行计算Ⅲ选取积分变量，以可以

6、进行积分运算、分割部分区域尽量少为原则。旋转体：由一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体.圆锥、圆柱、圆台、球体等到分别由三角形、矩阵、梯形、半圆等旋转而成．如：3、旋转体的体积讨论：同理：★注意：解：例22解：dxx+x例23五、定积分在其他方面的应用要求一组离散数据的平均值并不难，比如一个球队的平均身高、一个班的平均成绩等等.但对于一个连续函数来说，用这样的方法则不行.比如要求一昼夜间的平均气温、变速直线运动的平均速度、交流电在一个周期内的平均电流等等.这类问题也可以利用微元法的思想来解决.1、函数的平均值即有公式：解：例24例25计算纯电阻电路中正弦交流电在一个周期内的平

7、均功率.解：因为，所以物体在变力作用下，沿直线从移动到所做的功.讨论：常力，得到功的微元：于是，所求的功为：近似地看作小区间上的可用微元法解，取位移为积分变量，的变化区间是.在该区间上任取一个小区间，2、定积分在物理学中的应用1)功例26处的分力所作的功近似代似看作恒力作功，即用点解：建立如上图所示坐标系，在区间上任取一个在这个小区间上的分力作功可以近力在小区间上对物体所作的功.小区间替即功的微元为（待续）为锐角，而）（