第二节不定积分的换元积分法ppt课件.ppt

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1、第二节不定积分的换元积分法一、不定积分的第一类换元法二、不定积分的第二类换元法三、基本积分表(2)问题解决方法利用一阶微分形式不变性.解一、第一类换元法?在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理定理1设f(u)具有原函数F(u),u=(x)有连续导数,则有换元公式：不定积分的第一类换元法——凑微分法.说明使用此公式的关键在于将化为例1求下列不定积分一般地例1(1)求解(2)求解4)解5)解例求解法1解法2解法3观察重点不同，所得结论形式可能不同.例2求解同理可得(使用了三角函数恒等变形)例3求解例4求解例51)求例51)求解例52)求解例

2、61)求2)求思考：求不定积分例61)求解例62)求解求例7(1)求(2)求例7(1)求解(2)求解例8求下列不定积分1)例83)求解例83)求解例9求原式解例10求解(使用三角函数恒等变形)例11求下列不定积分例11(1)求解(2)求解例11(3)求解例12求解例13求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例14(1)求类似地可推出(2)求例13(1)求解类似地可推出例13(2)求解（使用了三角函数恒等变形）小结:第一类换元积分(凑微分)是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.凑微分法常见类型:练习：求下列不定积分解解解解解解问题

3、解决方法改变中间变量的设置方法.过程令(应用“凑微分”即可求出结果)二、不定积分的第二类换元法定理2设x=(t)是单调可导函数,且(t)0连续,则有换元公式：不定积分的第二类换元法.证设为的原函数,令则说明F(x)为f(x)的原函数,例1求解例求解令例2求解例3求解例4解说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例5求（三角代换很繁琐）令解例6求解令说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的

4、根式时，可采用令(其中n为各根指数的最小公倍数).例7求解令说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例8求令解说明(5)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式.例中,令三、基本积分表(2)P182四、小结1.两类积分换元法：(一)凑微分(二)三角代换、根式代换2.基本积分表(2)第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.第二类换元积分是把积分变量看做一个函数.思考题求积分思考题解答练习题练习题答案