第二节 不定积分的换元积分法.ppt

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1、设则第二节不定积分的换元积分法一、第一类换元法第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论形式不同.定理1例1求解（一）解（二）解（三）例2.求解:令则故原式=注:当时注意换回原变量一般地例3.求解:令则想到公式例4.求想到解:(直接配元)例5.求解:类似例6.求解:∴原式=常用的几种配元形式:万能凑幂法例7.求解:原式=例8.求解:原式=例9.求解:原式=例10.求解法1解法2两法结果一样例11.求解法1解法2同样可证或解法1解法2例12求解例13求解例14求解例15求原式例16.求

2、解:原式=例17求解例18.求解:例19求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例20求解解例21设求.令例22求解例23.求解:原式=分析:例24.求解:原式思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.求提示:法1法2法3问题解决方法令二、第二类换元法设为的原函数,则难求，怎么办?定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式例1.求解:令则∴原式例2求解令例3求解令例4.求解:令则∴原式令于是说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含

3、有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例5求（三角代换很繁琐）令解例6求解令说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例7求令解法二例8求解令（分母的阶较高）原式例9.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例10求解令基本积分表(2)解:原式例11.求例12.求解:例13.

4、求解:原式=例14.求解:原式例15.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)思考题求积分思考题解答备用题1.求下列积分:2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得分子分母同除以3.求不定积分解:令原式练习题练习题答案