第十三讲常微分方程初值问题数值解法ppt课件.ppt

《第十三讲常微分方程初值问题数值解法ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、常微分方程初值问题数值解法9.1引言科学技术中很多问题都可用微分方程的定解问题来描述，主要有初值问题与边值问题两大类，本章只考虑初值问题.常微分方程初值问题中最简单的例子是人口模型，设某特定区域在t0时刻人口为y(t0)=y0已知的，该区域的人口自然增长率为，人口增长与人口总数成正比，所以t时刻的人口总数y(t)满足以下微分方程很多物理系统与时间有关，从卫星运行轨道到单摆运动，从化学反应到物种竞争都是随时间的延续而不断变化的.解常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解就是确定满足给定方程的可微函数y(t)

2、，研究它的数值方法是本章的主要目的.考虑一阶常微分方程的初值问题则称f关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件，L称为y的利普希茨常数(简称Lips.常数).如果存在实数L>0，使得定理1设f在区域D={(x,y)

3、axb,yR}上连续,关于y满足利普希茨条件，则对任意x0[a,b],y0R，常微分方程初值问题(1.1)式和(1.2)式当x[a,b]时存在唯一的连续可微解y(x).解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基本内容，也是数值方法的出发点，此外还要考虑方程的解对扰动的敏感性，它有以下结论.定理

4、2设f在区域D(如定理1所定义)上连续,且关于y满足利普希茨条件，设初值问题的解为y(x,s)，则这个定理表明解对初值依赖的敏感性，它与右端函数f有关，当f的Lips.常数L比较小时，解对初值和右端函数相对不敏感，可视为好条件.若L较大则可认为坏条件，即病态问题.如果右端函数可导，由中值定理有若假定在域D内有界,设,则它表明f满足利普希茨条件，且L的大小反映了右端函数f关于y变化的快慢，刻画了初值问(1.1)式和(1.2)式是否为好条件.这在数值求解中也是很重要的.虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只

5、能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.所谓数值解法,就是寻求解y(x)在一系列离散节点上的近似值y1,y2,,yn,yn+1,.相邻两个节点的间距hn=xn+1-xn称为步长.今后如不特别说明，总是假定hi=h(i=1,2,)为常数,这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,)(等距节点).初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法，只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式

6、.本章首先要对常微分方程(1.1)离散化，建立求解数值解的递推公式.一类是计算yn+1时只用到前一点的值yn，称为单步法.另一类是用到yn+1前面k点的值yn,yn-1,,yn-k+1，称为k步法.其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解yn与精确解y(xn)的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题.9.2简单的数值方法9.2.1欧拉法与后退欧拉法我们知道，在xy平面上，微分方程(1.1)式的解y=f(x)称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x,y)的切线斜率等于函数f(x,y)的值.如果按f(x,y)在

7、xy平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.基于上述几何解释，我们从初始点P0(x0,y0)出发,先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后再从P1点依方向场在该点的方向推进到x=x2上一点P2,循环前进做出一条折线P0P1P2.一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn,yn)依方向场的方向再推进到Pn+1(xn+1,yn+1)，显然两个顶点Pn,Pn+1的坐标有关系这就是著名的(显式)欧拉(Euler)公式.若初值y0已知，则依公式(2.1)可逐次逐步算

8、出各点数值解.即例1用欧拉公式求解初值问题解取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为其中xn=nh=0.1n(n=0,1,,10),已知y0=1,由此式可得依次计算下去，部分计算结果见下表.与准确解相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.xn欧拉公式数值解yn准确解y(xn)误差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.

9、0373310.052719欧拉公式具有明显的几何意义,就是用折线近似代替方程的解曲线，因而常称公式(2.1)为欧拉折线法.还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假设yn=y(xn),即顶点Pn落在积分曲线y=y(x)上，那么，按欧拉方法做出的折线PnPn+1便是y=y(x)过点Pn的切线.从图形上看,这样定出的顶点Pn+1显著地偏离了原来的