2、部积分法和换元法观察下表：收敛收敛发散发散无穷积分与广义调和级数都收敛，都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.对三、无穷限广义积分与级数的关系定理.无穷积分收敛证明提示:级数对任意数列收敛于同一个数，且四、无穷积分的判别法定理1注：由于关于上限u是单调递增的证：解由定理3（Cauchy判别法）设f定义于且在任何有限区间上可积，则有：设f定义于且在任何有限区间[a，u]上可积，且：推论（Cauchy判别法极限形式）例３解反常积分发散．例5解反常积分收敛.定理（积分第二中值定理）设函数f在[a,b]上可积，（i）若函数g在[a,b]
3、上减，（ii）若函数g在[a,b]上增，推论设函数f在[a,b]上可积，若g为单调函数，推论设函数f在[a,b]上可积，若g为单调函数，证：若g为单调递减函数，则h为非负、递减函数。若g为单调递增函数，只须令同样可证得。证毕。狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理（狄利克雷（Dirichlet)判别法）证又因g为单调函数，利用积分第二中值定理，根据柯西准则，证得收敛。定理（阿贝尔（Abel）判别法）证由狄利克雷（Dirichlet)判别法，解：（1）当p>1时，由比较判别法请同学记忆本题结果。由狄利克雷（Dirichlet)判别法，例3证明下列无穷积
4、分都是条件收敛的：解由例1，得条件收敛。由（1），得条件收敛。作业P275.34（2、4、6）5（2、3）第二节瑕积分&瑕积分收敛与发散的概念&瑕积分敛散性判别法一、无界函数的广义积分-瑕积分定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.证注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。广义积分中的N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。如无穷限积分再如瑕积分瑕积分和无穷积分之间的关系式--可以相互转化二、瑕积分的性质与收敛判别法
5、一瑕积分的性质假设为函数的瑕点.瑕积的柯西收敛准则:定理11.1收敛即定理11.5收敛性质1若和都收敛,为常数,则也收敛,且性质1若和都收敛,为常数,则也收敛,且性质2若在任何有限区间上可积,则与同时收敛或同时发散,且有性质2若为的瑕点,则与同时收敛或同时发散,且有性质3若在任何有限区间上可积,且有收敛,则亦必收敛,并有性质3若在任何有限区间上可积,且有收敛,则亦必收敛,并有绝对收敛的瑕积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立.称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.二比较判别法定理11．2(比较法则)设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可
6、积,且满足则当收敛时收敛.(或者,当发散时,必发散).定理11．6(比较法则)设同为两个函数和的瑕点,且在任何区间上可积,且满足则当收敛时收敛.(或者,当发散时,必发散).推论1设定义于且在任何有限区间上可积，则有:(i)当且时收敛;(ii)当且时发散.推论1设定义于且在任何有限区间上可积，则有:(i)当且时收敛;(ii)当且时发散.比较法则的极限形式推论2若和都在任何上可积,且则有:(i)当时,与同敛态;(ii)当时，由收敛可推知也收敛;(iii)当时，由发散可推知也发散.推论2若且则有:(i)当时,与同敛态;(ii)当时，由收敛可推知也收敛
7、;(iii)当时，由发散可推知也发散.柯西判别法选用作为比较对象推论3设定义于且在任何有限区间上可积,且则有:(i)当时,收敛;(ii)当时,发散.推论3设定义于且在任何有限区间上可积,且则有:(i)当时,收敛;(ii)当时,发散.例1讨论下列瑕积分的收敛性:2)2)瑕点为又故发散.三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别一般瑕积分收敛时,也有相应的狄利克雷判别狄利克雷判别法阿贝尔（Abel）判别法若 在 上有界，则 收敛．若以a为瑕点的瑕积分 收敛，收敛．只叙述如下．由于证明与无穷积分的类似，法与阿贝尔判别法.故在此当
8、时,单调趋于０,在上单调有界，则首页×含参量积分：称为格马(Gamma)函数（写作Γ函数）.它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，称为贝塔(Beta)
