《高等数学》-各章知识点总结——第6章.doc

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1、第6章微分方程总结1.可分离变量微分方程一阶微分方程y¢=j(x,y)或M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0能写成g(y)dy=f(x)dx　两边积分可得通解。2.齐次微分方程，令,即y=ux,有,得。3.一阶线性微分方程（1）齐次线性　用分离变量法可求得通解。（2）非齐次线性方程　由齐次方程常数变易法可得通解。4.伯努利方程(n¹0,1)，以yn除方程的两边,得令z=y1-n,得线性方程.5.可降阶的高阶微分方程（1）y(n)=f(x)：积分n次,，×××.（2）y¢¢=f(x,y¢)：设y

2、¢=p(x),则方程化为p¢=f(x,p)。（3）y¢¢=f(y,y¢)：设y¢=p(y),，原方程化为6.二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数齐次线性微分方程：y¢¢+py¢+qy=0特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根（2）二阶常系数非齐次线性微分方程：y¢¢+py¢+qy=f(x)先求对应齐次方程y¢¢+py¢+qy=0的通解，再加上非齐次方程的一个特解；（a）f(x)=Pm(x)elx型,特解：y*=xkQm(x)elx,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多

3、项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2。(b)f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型，特解：y*=xkelx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx],其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式,m=max{l,n},而k按l+iw(或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1。