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时间:2020-10-05
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1、行列式的计算方法小结4、其他技巧:1、定义法2、利用性质3、按行(列)展开(降阶法)析因子法箭形行列式行(列)和相等的行列式递推公式法加边法(升级法)拆项法数学归纳法1、定义法:适用于0比较多的行列式(P97 8、9、10、11、12)2、利用性质(直接利用;利用性质化三角形行列式)例1.若n级行列式满足证明:当n为奇数时,例2.设n为奇数,将 个数 排成一个n阶行列式,使其每行、每列的元素之各都相等。证明该行列式能被全体元素的和整除。(P98-99:12、17(2))解:设排成的n级行列式为 ,则 所有元素之和且每行、每列的元素之
2、和于是因为n为奇数,所以 为偶数,从而为整数。所以下面行列式的值m为整数:能被所有元素之和s=nb整除.例3.计算行列式解:原式3、 降阶法:主要利用按行(列)展开公式(P100:17(5))例4.已知行列式求答案:(一)析因子法例:计算解:由行列式定义知为的4次多项式.又,当时,1,2行相同,有,为D的根.当时,3,4行相同,有为D的根.故有4个一次因式:其他技巧设令则即,(二)箭形行列式解:把所有的第列的倍加到第1列,得:可转为箭形行列式的行列式:(把第i行分别减去第1行,即可转为箭形行列式)(三)行(列)和相等的行列式解:解(四)升级法
3、(加边法)解:1)练习1、计算行列式解练习2、计算行列式解(五)递推公式法展开解由以上两式解得而行列式的值求出的值)(先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形关系式,再用递推关系及某些低阶(2阶,1阶)(六)拆项法(主对角线上、下元素相同)解:继续下去,可得当时当时也可以用加边法做:解练习3、计算①又当时当时②①②,得(七)数学归纳法例、证明:证:当时,,结论成立.假设时结论成立,即,对,将 按最后一列拆开,所以时结论成立,故原命题得证.证:时,.结论成立.假设时,结论成立.当时,按第行展开得练习4、证明:于是时结论亦成立,原命题得证.由归纳假设
4、(八)范德蒙行列式解:考察阶范德蒙行列式例、计算行列式显然就是行列式中元素的余子式,即,(为代数余子式)又由的表达式及根与系数的关系知,中的系数为:即,解:考察阶范德蒙行列式练习5、计算显然就是行列式中元素的余子式,即由的表达式知,的系数为:即开解:即有于是有练习、计算同理有即
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