计算机模拟第5.6课ppt课件.ppt

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1、第五章MonteCarloMethods(蒙特卡罗方法)5.1概述2.蒙特卡罗方法的提出蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国人Buffon提出用投针实验的方法求圆周率。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。背景知识(MonteCarlo、MonteCarlo方法）mc.ppt3.什么是MonteCarlo方法？也称为统计试验方法，它是通

2、过不断产生随机数序列，在计算机上做统计试验进而解决数学、物理、科学研究、工程技术等实际问题的一类概率统计计算方法。研究对象：确定性问题5.2Buffon问题任投一针的概率含义为：针的中心点M在两平行线之间等概率落入。换句话说，针的中心点M与最近的平行线的距离x是均匀分布在区间[0，a/2]上的随机变量，针与平行线的夹角是均匀分布在区间[0，]上的随机变量，而且x与相互独立，于是针与平行直线相交的充要条件是：于是有：p=若我们独立重复地作N次投针试验，其中M次针线相交，则针线相交的频率为，根据大数定律，当时，，从而有。这样就可以用随机投针的方法求得的近似值。试验者时间

3、(年)针长投针次数相交次数π的估计值Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60320412183.15665Fox18840.7510304893.15951Lazzarini19250.83340818083.14159292历史上的试验结果MonteCarlo方法的基本思想：当某个问题可以抽象成一个确定的数学问题时，应该首先构造一个恰当的概率模型（确定一个随机事件或随机变量）使得所求的解等于随机事件所出现的概率或随机变量的均值，然后做模拟试验（重复多次模拟随机事件），最后对随机事件结果进行统计处理，求出随机事件出现的概率或随机变量的

4、均值作为原始问题的近似解。MonteCarlo方法的基本步骤：1.根据实际问题构造一个概率模型；2.根据概率模型的特点，设计有效的模拟方法；3.给出概率模型的抽样方法；4.在计算机上做统计试验。MonteCarlo方法的应用蒙特卡罗方法有很强的适应性，问题的几何形状的复杂性对它的影响不大。该方法的收敛性是指概率意义下的收敛，因此问题维数的增加不会影响它的收敛速度，而且存贮单元也很省，这些是用该方法处理大型复杂问题时的优势。因此，随着电子计算机的发展和科学技术问题的日趋复杂，蒙特卡罗方法的应用也越来越广泛。它不仅较好地解决了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算

5、和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学、信息科学、公用事业、地质、医学，计算机科学,金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等广泛的领域都得到成功的应用。5.3用MonteCarlo方法讨论积分问题一、随机投点法(hitormiss法)设在单位正方形(0≤x≤1,0≤y≤1)里随机地任投一点，它的坐标(xi,yi)是相互独立，且属于(0,1)均匀分布的随机数。设均匀随机投点实验次数为N次，满足yi≤f(xi)1.的次数为M次,则二、期望估计法(samplemean法)设

6、x是(0,1)均匀分布的随机变量，则f(x)也是一个随机变量，其期望值为：设做N次统计实验，按统计学知识2.对于(a,b)区间，3、解：令这里非负函数f(x,y)可以看作是积分区域里的一个概率密度函数按统计实验法f(x,y)最简单形式是均匀分布的密度函数,其形式为上机实验(理论值为0.2299)按统计试验法:最简单的形式为均匀分布的密度函数,可写为其中Cm为积分区域5.4随机数与伪随机数一、随机数与伪随机数真随机数：不可预计性，不可重复伪随机数：利用算法或公式产生的随机数。1.真随机数的发生源晶体管噪声发生器、放射粒子计数器等2.伪随机数：例如[0，1]区间均匀分布的随机数

7、二、伪随机数产生方法1、平方取中法从某个初始的2k位整数开始，求出这个数的平方，去头截尾取其中间2k位作为一个新的随机数，重复以上过程，则得到一列随机数。例1已知种子x0=3187，利用平方取中法产生四位数的随机数序列。(3187)2=10156969x1=1569(1569)2=02461761x2=4617…..…..例2、已知x0=44，试产生两位数的随机数序列。(44)2=1936x1=93(93)2=8649x2=64(64)2=4096x3=09(09)2=0081x4=08(08)2=0064x5=0