无理数与实数(基础)知识讲解.doc

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1、无理数与实数（基础）责编：杜少波【学习目标】1.了解无理数和实数的意义；2.了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.

2、1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时

3、，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数：【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有无理数有……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.举一反三：【高清课堂：实数复习，巩固练习3】【

4、变式】下列说法错误的是（）①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A．①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C；类型二、实数大小的比较2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小．【答案与解析】解：∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜1．【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键．举一反三：【变式】比较大小【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.3、如图，数轴上点表示的数可能是（）　　A.B.C.D.【答案】B；【解析】－3＜＜－2.【总结升华】关

5、键是估计出的大小.类型三、实数的运算4、化简：(1)(2)(3)【答案与解析】解：.【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.举一反三：【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+

6、﹣1

7、﹣．【答案】解：原式=4+﹣1﹣3=．5、若，则________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：，即，∴．【总结升华】初中阶段所学的非负数有

8、

9、，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0.举一反三：【变式】已知，

10、求的值．【答案】解：由已知得，解得．∴＝.