立体几何中的向量方法练习题.doc

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1、第七节　立体几何中的向量方法(理)时间：45分钟　分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°解析　∵

2、a

3、＝，

4、b

5、＝，∴cos〈a，b〉＝＝.又〈a，b〉∈(0°，90°)，∴〈a，b〉＝60°.答案　B2．(2014·珠海模拟)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)A.，－，4B.，－，4

6、C.，－2,4D．4，，－15解析　∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，则解得答案　B3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析　建立空间直角坐标系如图．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案　B4．在90°的二面角的棱上有A，B两点，AC、BD分

7、别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB＝5，AC＝3，CD＝5，则BD＝(　　)A．4B．5C．6D．7解析　由条件知AC⊥AB，BD⊥AB，AC⊥BD，又＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝

8、

9、2＋

10、

11、2＋

12、

13、2＝32＋52＋

14、

15、2＝(5)2，∴

16、

17、2＝16，∴BD＝4.答案　A5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.解析　如图建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然AC⊥平面BB1D1D，∴＝(4,4

18、,0)为平面BB1D1D的一个法向量．又＝(0,4,2)，∴cos〈，〉＝＝1＝.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案　C6．(2014·德州调研)二面角的棱上有A，B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)A．150°B．45°C．60°D．120°解析　由题意知与所成角即为该二面角的平面角．∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.∴(2)2＝62＋42＋82＋2

19、

20、

21、

22、cos〈，〉＝116＋2×6×8cos〈，〉．∴cos〈，〉＝－，∴〈，〉＝120°

23、.∴〈，〉＝60°，∴该二面角的大小为60°.答案　C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.(2014·潍坊考试)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，若ABCD是边长为2的正方形，AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则BD1的长为__________．解析　∵＝＋＋，∴

24、

25、2＝(＋＋)2＝9，故BD1＝3.答案　38．(2013·怀化模拟)如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，侧棱AA1＝，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为________．解析　以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线

26、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面AA1C1C的法向量为n＝(0,1,0)，＝－(1,0，)＝，则直线AM与平面AA1C1C所成角θ的正弦值为sinθ＝

27、cos〈，n〉

28、＝＝，∴tanθ＝.答案　9．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．解析　以A为原点建立空间直角坐标系，如图，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，则＝(1，－1，－1)，＝(0,1，－2)，

29、

30、＝，

31、

32、＝，·＝1，cos〈，〉

33、＝＝，故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.答案　三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2013·江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．解　(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．