数列基础知识点和方法归纳.docx

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1、数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：an1and（d为常数），ana1n1d，推论公式：等差中项：x，A，y成等差数列2Axy,等差数列前n项和：Sna1annna1nn1d22性质：an是等差数列（1））若mnpq，则amanapaq；（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2））数列a,a,a仍为等差数列，S，SS，SS仍为等差数列，公差为n2d；2n12n2n1n2nn3n2n（3））若三个成等差数列，可设为ad，a，ad；（4））若a，b是等差数

2、列，且前n项和分别为S，T，则amS2m1；nnnnbTm2m1（5））an为等差数列San2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）nnSn的最值可求二次函数San2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：当a10，d0，解不等式组anan10可得Sn达到最大值时的n值.0当a10，d0，由anan10可得Sn达到最小值时的n值.0(6)项数为偶数2n的等差数列an，有S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1

3、为中间两项)S偶S奇nd，S奇S偶anan1.（7）项数为奇数2n1的等差数列an(2n1)an(an为中间项),S奇S偶an，，有S2n1.S奇nS偶n12.等比数列的定义与性质定义：an1aq（q为常数，q0），an1naq1n.推论公式：2等比中项：x、G、y成等比数列Gxy，或Gxy.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前n项和公式：性质：an是等比数列（1））若mnpq，则am·an（2））S，SS，SSap·aq(下标和定理)注意：要求等式左右两边项数相等。n仍为等比数列,公比为qn2

4、nn3n2n。.（3）an是正项等比数列，则注意：由Sn求an时应注意什么？n1时，a1n2时，anS1；SnSn1.3.求数列通项公式的常用方法（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）已知S与n的关系s与a的关系时求aas1(n1)n（2）n或nn，n。snsn1(n2)例：数列的前项和．求数列的通项公式;解：当时，当时数列的通项公式为．练习：设数列的前项和为，且．求数列的通项公式。（3）求差（商）法例：数列a，1a1a1a2n5，求ann212222nn解：n

5、1时，1a215，∴a141121a1a1a2n5①n212222nn2时，1a1a1a2n15②212222n1n1nan①—②得：121，∴an2n1，∴a14(n1)n2n1(n2)练习：在数列中，，,求数列的通项公式。(4)累乘法形如的递推式由an1anf(n)，则a2a1f(1)a3，a2f(2)，LLan1，anf(n)两边分别相乘得，an1a1na1f(k)k1an1n例：数列an中，a13，，求anann1解a2a3an12n1an1a33··，∴又1，∴ana1

6、a2an123na1nn.练习：已知,求数列的通项公式。（5）累加法形如的递推式。由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法a2a1a3a2n2时，f(2)f(3)两边相加得aaf(2)f(3)f(n)n1anan1f(n)∴ana0f(2)f(3)f(n)例：已知数列满足,（2）求数列的通项公式练习：已知数列中，，（）．求数列的通项公式；（6）构造法形如ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）的递推式。可转化为等比数列，设anxcan1xan

7、can1c1x令(c1)xd，∴xc，∴ac1d是首项为anc11d，c为公比的等比数列c1∴adad·cn1，∴aadcn1dn1c1c1n1c1c1例：已知数列满足，.求数列的通项公式；解：（1），，而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，，因此．练习1：，求数列an的通项公式。练习2：已知数列{a}满足ann12an35，an16，求数列an的通项公式。（7）倒数法例：a1，a1n12anan2，求an由已知得：1an1an2an212an1，∴1an11an12∴1an为等差

8、数列，1a11，公差为1，∴121n1·1an212n1，∴a2nn1练习：已知数列的首项，。aS1(n1)总结：公式法、利用nSnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an1panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法。3.求数列前n项和的常用方法（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前n项和：Sna1annna1nn1d22等比数列前n项和公式：常见公式：,（