一次函数之平行四边形存在性问题.docx

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1、一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，则线段AB的中点P的坐标为（）例：如图，已知点A(-2，1)，B(4，3)，则线段AB的中点P的坐标是________.2.线段的平移平面内，线段AB平移得到线段A'B'，则①AB∥A'B'，AB=A'B'；②AA'∥BB'，AA'=BB'.如图，线段AB平移得到线段A'B'，已知点A(-2，2)，B(-3，-1)，B'(3，1)，则点A'的坐标是________.例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、

2、D(x4,y4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？例：如图，已知□ABCD中A(-2，2)，B(-3，-1)，C(3，1)，则点D的坐标是________.方法一：利用线段平移总结：x1-x2=x4-x3，y1-y2=y4-y3或者x4-x1=x3-x2，y4-y1=y3-y2等方法二：利用中点公式总结：x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4类型一：三定一动例1、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1，0)，B(1，-2)，C(3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是__________________

3、_______________.总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________【例1】．一次函数y＝x+3与y＝﹣x+q的图象都过点A（m，0），且与y轴分别交于点B、C．（1）试求△ABC的面积；（2）点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）过△ABC的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC的面积？若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．【解答】解：（1）将点A（m，0）代入y＝x+3中，得m+3＝0，解得m＝﹣3，即点

4、A（﹣3，0），将点A（﹣3，0）代入y＝﹣x+q中，得q＝﹣3，∴点B（0，3）、C（0，﹣3），故S=12×BC×AO＝9；（2）满足条件的D点坐标为D（﹣3，6）、D（﹣3，﹣6）、D（3，0）；（3）若过点A，则得直线l：y＝0；若过点C，则得直线l：y＝﹣3x﹣3；若过点B，则得直线l：y＝3x+3．例2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四

5、边形PQOB的面积是112，且CQ：AO＝1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m．∴点A（﹣m，0）．在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得x=n3．∴点B（n3，0）．由y=x+my=-3x+n，得x=n-m4y=n+3m4，∴点P（n-m4，n+3m4）．在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m，∴

6、﹣m

7、＝

8、m

9、，即有AO＝QO．又∵∠AOQ＝90°，∴△AOQ是等腰直

10、角三角形，∴∠PAB＝45°．（2）∵CQ：AO＝1：2，∴（n﹣m）：m＝1：2，整理得3m＝2n，∴n=32m，∴n+3m4=32m+3m4=98m，而S四边形PQOB＝S△PAB﹣S△AOQ=12（n3+m）×（98m）-12×m×m=1132m2=112，解得m＝±4，∵m＞0，∴m＝4，∴n=32m＝6，∴P（12，92）．∴PA的函数表达式为y＝x+4，PB的函数表达式为y＝﹣3x+6．（3）存在．过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3．①∵PD1∥AB且BD1

11、∥AP，∴PABD1是平行四边形．此时PD1＝AB，易得D1(132，92)；②∵PD2∥AB且AD2∥BP，∴PBAD2是平行四边形．此时PD2＝AB，易得D2(-112，92)；③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形．∵BD3∥AP且B（2，0），∴yBD3＝x﹣2．同理可得yAD3＝﹣3x﹣12y=x-2y=-3x-12，得x=-52y=-92，∴D3(-52，-92)．3．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的