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时间:2020-10-17
《一次函数之平行四边形存在性问题.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中,点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则线段AB的中点P的坐标为()例:如图,已知点A(-2,1),B(4,3),则线段AB的中点P的坐标是________.2.线段的平移平面内,线段AB平移得到线段A'B',则①AB∥A'B',AB=A'B';②AA'∥BB',AA'=BB'.如图,线段AB平移得到线段A'B',已知点A(-2,2),B(-3,-1),B'(3,1),则点A'的坐标是________.例:如图,在平面直角坐标系中,□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、
2、D(x4,y4),已知其中3个顶点的坐标,如何确定第4个顶点的坐标?例:如图,已知□ABCD中A(-2,2),B(-3,-1),C(3,1),则点D的坐标是________.方法一:利用线段平移总结:x1-x2=x4-x3,y1-y2=y4-y3或者x4-x1=x3-x2,y4-y1=y3-y2等方法二:利用中点公式总结:x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4类型一:三定一动例1、如图,平面直角坐标中,已知中A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是__________________
3、_______________.总结:三定一动问题,可以通过构造中点三角形得以解决.说明:若题中四边形ABCD是平行四边形,则点D的坐标只有一个结果________【例1】.一次函数y=x+3与y=﹣x+q的图象都过点A(m,0),且与y轴分别交于点B、C.(1)试求△ABC的面积;(2)点D是平面直角坐标系内的一点,且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点D的坐标;(3)过△ABC的顶点能否画一条直线,使它能平分△ABC的面积?若能,求出直线的函数关系式,若不能,说明理由.【解答】解:(1)将点A(m,0)代入y=x+3中,得m+3=0,解得m=﹣3,即点
4、A(﹣3,0),将点A(﹣3,0)代入y=﹣x+q中,得q=﹣3,∴点B(0,3)、C(0,﹣3),故S=12×BC×AO=9;(2)满足条件的D点坐标为D(﹣3,6)、D(﹣3,﹣6)、D(3,0);(3)若过点A,则得直线l:y=0;若过点C,则得直线l:y=﹣3x﹣3;若过点B,则得直线l:y=3x+3.例2.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y=﹣3x+n(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数;(2)若四
5、边形PQOB的面积是112,且CQ:AO=1:2,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式;(3)在(2)的条件下,是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)在直线y=x+m中,令y=0,得x=﹣m.∴点A(﹣m,0).在直线y=﹣3x+n中,令y=0,得x=n3.∴点B(n3,0).由y=x+my=-3x+n,得x=n-m4y=n+3m4,∴点P(n-m4,n+3m4).在直线y=x+m中,令x=0,得y=m,∴
6、﹣m
7、=
8、m
9、,即有AO=QO.又∵∠AOQ=90°,∴△AOQ是等腰直
10、角三角形,∴∠PAB=45°.(2)∵CQ:AO=1:2,∴(n﹣m):m=1:2,整理得3m=2n,∴n=32m,∴n+3m4=32m+3m4=98m,而S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ=12(n3+m)×(98m)-12×m×m=1132m2=112,解得m=±4,∵m>0,∴m=4,∴n=32m=6,∴P(12,92).∴PA的函数表达式为y=x+4,PB的函数表达式为y=﹣3x+6.(3)存在.过点P作直线PM平行于x轴,过点B作AP的平行线交PM于点D1,过点A作BP的平行线交PM于点D2,过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3.①∵PD1∥AB且BD1
11、∥AP,∴PABD1是平行四边形.此时PD1=AB,易得D1(132,92);②∵PD2∥AB且AD2∥BP,∴PBAD2是平行四边形.此时PD2=AB,易得D2(-112,92);③∵BD3∥AP且AD3∥BP,此时BPAD3是平行四边形.∵BD3∥AP且B(2,0),∴yBD3=x﹣2.同理可得yAD3=﹣3x﹣12y=x-2y=-3x-12,得x=-52y=-92,∴D3(-52,-92).3.如图,在等边△ABC中,BC=8cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的
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