中考数学专题之二次函数三大题型汇总.docx

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1、中考数学专题之二次函数三大题型汇总题型一：周长，面积问题和最小，差最大例1：已知二次函数的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），且与轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是-2。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值。解析：(1)将代入，得，∴(2)∵∴对称轴，而A，B关于对称轴对称∴连结BD与对称轴的交点即为所求P点.过D作DF⊥轴于F.将代入，则∴D（-2，-3）∴Rt△BDE中，BD=∵PA=PB∴PA+PD=BD=故PA+PD的最小值为总结:本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式以及求二

2、次函数对称轴，和点关于某直线对称的问题，难度适中，具有一定的综合性．例2：已知抛物线y＝与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），C（2，-2）是抛物线外一点，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得

3、PB-PC

4、值最大，则点P坐标是．解析：总结:本题是二次函数综合题型，主要涉及抛物线与坐标轴的交点的求解，抛物线的对称轴，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的三边关系，找出点C关于对称轴的对称点C′，并且判断出点P在直线BC′是解题的关键，也是本题的难点．面积最大值例1：（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经

5、过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周

6、长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S

7、=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．总结:此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．题型二：常见的几何图形(直角三角形，等腰三角形，平行四边形，圆)直角三角形例1（2018•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐

8、标为（0，﹣5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+4，将A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5．（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，∴B（1

9、，0），C（5，0）．如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，∴，即，求得⊙C的半径CE=；而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞，∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．（3）存在．理由如下：有两种情况：（I）如答图②所示，点P在x轴上方．∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5①又点P在抛物线上，∴n=﹣m2

10、+6m﹣5②联立①②式，解得：m=2或m=5．当m=5时，点F与点C重合，故舍去，∴m=2，∴n=3，∴点P坐标为（2，3）；（II）如答图③所示，点P在x轴下方．∵A（0，﹣5），C（5，0